高阶多智能体一致性研究问题

摘要

高阶多智能体一致性调整属于系统设计环节，通过一致性调整可以使系统的性能得到改善，从而使系统满足期望的性能指标。

本文主要研究线性定常系统的运动控制一致性调整方法，包括运动控制超前一致性调整、运动控制滞后一致性调整和运动控制滞后超前一致性调整。本文首先回顾了系统的时域性能指标和频域性能指标以及系统的一致性调整方式，然后分别讨论了系统一致性调整的根轨迹法和频率特性法。针对两种方法，分别给出了高阶多智能体超前一致性调整、滞后一致性调整，滞后超前一致性调整的理论依据、适用范围、一致性调整步骤和相应的算法流程图，并针对各个一致性调整方法编写了相应的MATLAB 仿真程序，同时利用MATLAB 的图形用户界面设计功能对高阶多智能体一致性调整进行了可视化界面设计，为每种一致性调整方法设计了对应的GUI 界面。针对每种方法给出具体实例验证了一致性调整方法的有效性以及算法的正确性。

关键词：运动控制一致性调整，MATLAB ，根轨迹法，频率特性法，GUI

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Abstract

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Control system correction is a part of system design. With a compensator, the system

can be more precise and more stable, thus the system can meet the requirement.

This paper investigates the design of cascade compensators for linear time invariant system, including cascade phase-lead compensators, cascade phase-lag compensators and cascade phase lag-lead compensators. We first recall the performance indicators in time domains and in domains, and the correction methods for linear time invariant systems. Then, correct steps and the corresponding algorithm flow charts are given for phase-lead compensator, phase-lag compensator and phase lag-lead compensator. MATLAB programs are written for each correction methods. Visual interfaces are designed using MATLAB’s GUI design function. Also, we give some to illustrate the effectiveness of our correction methods and the correctness of our algorithms.

Key words: cascade compensator, root-locus method, frequency characteristics

method, MATLAB, GUI

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摘要 .................................................................. I Abstract .............................................................. II 1 绪论 ............................................................... 1

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3 ·················线

···························· ··1.1 课题的意义及研究现状 ........................................... 1

1.1.1 MATLAB的发展及系统构成 ................................... 1 1.1.2 MATLAB的GUI 设计 ......................................... 3 1.2 创新点 ........................................ 错误！未定义书签。 1.3 论文的结构 ..................................................... 4 高阶多智能体一致性调整的方法 ........................................ 5

2.1高阶多智能体的性能指标 .......................................... 5 2.1.1高阶多智能体的时域指标 .................................... 5

2.1.2高阶多智能体的频域指标 .................................... 6 2.1.3一阶系统的性能指标 ........................................ 7 2.1.4二阶系统的性能指标 ........................................ 8 2.2高阶多智能体的一致性调整方式 ................................... 10 高阶多智能体的根轨迹一致性调整 ..................................... 12

3.1 根轨迹方法 .................................................... 12

3.2开环零极点对根轨迹的影响 ....................................... 12

3.2.1开环零点对根轨迹的影响 ................................... 12 3.2.2开环极点对根轨迹的影响 ................................... 13 3.2.3开环偶极子对根轨迹的影响 ................................. 14 3.3基于根轨迹的超前一致性调整 ..................................... 14

3.3.1超前一致性调整装置 ....................................... 14 3.3.2超前一致性调整的步骤 ..................................... 15 3.3.3算法流程图 ............................................... 15 3.3.4实例仿真 ................................................. 16 3.4基于根轨迹的滞后一致性调整 ..................................... 18

3.4.1滞后一致性调整装置 ....................................... 18 3.4.2滞后一致性调整的步骤 ..................................... 19 3.4.3算法流程图 ............................................... 19 3.5基于根轨迹的滞后超前一致性调整 ................................. 22

3.5.1滞后超前一致性调整装置 ................................... 22 3.5.2滞后超前一致性调整的步骤 ................................. 22 3.5.3算法流程图 ............................................... 23

3.5.4实例仿真 ................................................. 23 3.6本章小结 ....................................................... 24 4 高阶多智能体一致性调整的频率特性法 ................. 错误！未定义书签。

4.1系统的频率特性 ................................. 错误！未定义书签。 4.2基于频率特性的超前一致性调整 ................... 错误！未定义书签。

4.2.1超前一致性调整装置 ....................... 错误！未定义书签。 4.2.2超前一致性调整的步骤 ..................... 错误！未定义书签。 4.3基于频率特性的滞后一致性调整 ................... 错误！未定义书签。

4.3.1滞后一致性调整装置 ....................... 错误！未定义书签。 4.3.2滞后一致性调整的步骤 ..................... 错误！未定义书签。 4.4基于频率特性的滞后超前一致性调整 ............... 错误！未定义书签。 4.4.1滞后超前一致性调整装置 ................... 错误！未定义书签。 4.4.2滞后超前一致性调整的步骤 ................. 错误！未定义书签。 ............................................... 错误！未定义书签。 ............................................................... 36 4.5本章小结 ....................................... 错误！未定义书签。结论 ................................................. 错误！未定义书签。致谢 ................................................. 错误！未定义书签。参考文献 .............................................. 错误！未定义书签。

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1 绪论

1.1 课题的意义及研究现状

高阶多智能体的一致性调整属于系统设计的环节。主要是指定高阶多智能体的期望性能指标并依据这些指标计算出开环系统的特性，然后比较期望的开环特性与实际的开环特性，并依据这些结果来确定在开环系统中增加某些一致性调整装置，并计算出一致性调整装置的参数。然而系统的一致性调整是一个反复试验各种参数的过程，需要相当的经验的积累，并需要进行大量的计算。

在计算机出现之前，科学研究的绝大部分工作是利用数学手段或其他方法对事物和真实世界进行描述。计算机的出现对科学和工程计算技术的发展产生了深远的影响，使人们能对复杂事物和系统建立模型并利用计算机进行求解，这些手段和方法逐步形成了计算机仿真技术。仿真已成为当今科学技术研究的主要内容之一，仿真技术也渗透到各学科和工程技术领域[1]。

计算机仿真技术有着巨大的优越性，利用它可以求解许多复杂而无法用数学手段解析求解的问题，利用它可以预演或再现系统的运动规律或运动过程，利用它可以对

[2]

无法直接进行试验的系统进行仿真实验研究，从而节省大量的资源和费用。由于计算机仿真技术的优越性，他的应用领域已经非常广泛，而且越来越受到普遍的重视。计算机仿真是构造现实实际系统和在计算机上进行仿真的复杂活动，它主要包括实际系统，模型和计算机三个基本部分，关系如图1-1。

图 1-1 计算机仿真模型

自动高阶多智能体仿真就是以自动高阶多智能体模型（传递函数或状态空间）为基础，采用数学模型替代实际高阶多智能体，以计算机为工具，对自动高阶多智能体进行实验、分析、评估及预测研究的一种技术与方法。

本论文选择使用MATLAB 作为仿真工具进行综合设计与仿真。以下简要介绍MATLAB 的发展，构成及其特点和MATLAB 中的图形界面（GUI ）的设计方法。

1.1.1 MATLAB的发展及系统构成

MATLAB 的产生是与数学计算紧密联系在一起的。1980年，美国新墨西哥州大

学计算机系主任Cleve Moler在给学生讲授线性代数课程时，发现学生在高级语言编程上花费很多时间，于是着手编写供学生使用的Fortran 字程序库接口程序，他将这个接口程序取名为MATLAB(即Matrix Laboratory的前三个字母的组合，意为“矩阵实验室”)。这个程序获得了很大的成功，受到学生的广泛欢迎。

MATLAB 经过几十年研究与不断完善，现已成为国际上最为流行的科学与工程计算软件工具之一，现在的MATLAB 已经不仅仅是一个最初的“矩阵实验室”了，它已发展成为一种具有广泛应用前景、全新的计算机高级编程语言。自20世纪90年代，在美国和欧洲大学中将MATLAB 正式列入研究生和本科生的教学计划，MATLAB 软件已成为应用代数、自动控制原理、数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等课程的基本教学工具，成为学生所必须掌握的基本软件之一。在研究单位和工业界，MATLAB 也成为工程师们必须掌握的一种工具，被认作进行高效研究与开发的首选软件工具，其特点是：

(1) 可扩展性：MATLAB 最重要的特点是易于扩展，它允许用户自行建立特定功能的M 文件。

(2) 易学易用性：MATLAB 不需要用户有高深的数学知识和程序设计能力，不需要用户深刻了解算法及编程技巧。

(3) 高效性：MATLAB 语句功能十分强大，一条语句可完成十分复杂的任务。它大大加快了工程技术人员从事软件开发的效率[3]。

MATLAB 的最新版本为MATLAB R2012a ，即7.14版本。最新版本改进了矩阵排序和转置运算，增强了对64位操作系统的支持，强化了大型数据集处理能力。除此之外，MATLAB R2012a还改进了对文件I/O和外部接口连接的支持。

本文采用MATLAB R2010a进行相关的数学运算、图形界面绘制，和高阶多智能体仿真。

MATLAB 系统由MATLAB 开发环境、MATLAB 数学函数库、MATLAB 语言、MATLAB 图形处理系统和MATLAB 应用程序接口(API)五大部分构成。

(1) MATLAB开发环境

MATLAB 开发环境是一套方便用户使用MATLAB 函数和文件的工具集，其中许多工具是图形化用户接口。它是一个集成化的工作空间，可以让用户输入、输出数据，并提供了M 文件的集成编译和调试环境。它包括MATLAB 桌面、命令窗口、M 文件编辑调试器、MATLAB 工作空间和在线帮助文档。

(2) MATLAB数学函数库 MATLAB 数学函数库包括了大量的计算算法，从基本运算(如加法、正弦等) 到复杂算法，如矩阵求逆、贝赛尔函数、快速傅里叶变换等。

(3) MATLAB语言

MATLAB 语言是一个高级的基于矩阵/数组的语言，它有程序流控制、函数、数据结构、输入/输出和面向对象编程等特色。用户既可以用它来快速编写简单的程序，也可以用来编写庞大复杂的应用程序。

(4) MATLAB图形处理系统[4]

图形处理系统使得MATLAB 能方便地图形化显示向量和矩阵，而且能对图形添

加标注和打印。它包括强大的二维、三维图形函数、图像处理和动画显示等函数。 (5) MATLAB应用程序接口(API)

MATLAB 应用程序接口(API)是一个使MATLAB 语言能与C 、Fortran 等其他高级编程语言进行交互的函数库，该函数库的函数通过调用动态链接库(DLL)实现与MATLAB 文件的数据交换，其主要功能包括在MATLAB 中调用C 和Fortran 程序，以及在MATLAB 与其它应用程序间建立客户/服务器关系。

1.1.2 MATLAB的GUI 设计

图形用户界面(GUI，Graphical User Interface) 是提供人机交互的工具。GUI 是用图形对象—GUI 控件，如：按钮、文本、滑块和菜单等组成的用户界面。一个设计优秀的GUI 能够非常直观地让用户知道如何操作MATLAB 界面。例如，只要简单移动一下滑块，一个变量的值就随着发生变化；当点击OK 按钮时，我们的设置得到应用并且对话框关闭。更重要的是，绝大多数使用计算机用户都知道如何应用GUI 的标准控件。这也为GUI 设计提供了广阔的前景[5]。

MATLAB 的GUI 为开发者提供了一个不脱离MATLAB 的开发环境，更有益于MATLAB 程序的GUI 的集成，为一般用户提供了极大的方便。通过用户与底层的程序代码创建的界面，用户可以不了解具体程序命令行而去操作应用程序。因此，应用程序比直接运行命令行更容易学习和使用。特别是使用MATLAB 计算软件的绝大多数用户，并不关心GUI 的开发，而重点关注于MATLAB 巨大的数值计算、工程分析等。但是开发者拥有了工程开发成果时，面向的不是自己，而是客户(使用者) ，很不幸的是，客户对MATLAB 一无所知或根本不想去了解那么多令人费解的代码，这时GUI 设计显得很重要。GUI 成为高质量程序与其用户交流的平台。由于MATLAB 强大的应用功能，使得越来越多的用户从原先的开发环境转到MATLAB 上来。使用MATLAB 让用户不再关心大量底层与开发无关的工作，真正地解放了用户的双手，极大地提高了开发效率，让用户更专注于更需要它他的地方。MATLAB 为了解决用户开发与客户交互的局限性，提供了一个全新GUI 设计方案。让那些其他环境的用户和新用户能够快速地转换和上手[6]。

在GUI 设计程序前，首先考虑设计对象的结构和开发流程。开发前的思考、开发文档的编辑对于理清编程者的思路、提高开发效率有十分重要的作用。即使是相同要求，设计出来GUI 也是千差万别的。一个优秀的界面应当符合下面的标准： (1)易用性

设计界面时，力求简洁、直接、清晰的反映界面的功能和特征。组件名称应该易懂，用词准确，与同一界面上的其他组件相区分，最好做到顾名思义。

(2)统一性

统一性包括使用标准的组件，也指使用相同的信息表现方法，如在字体、标签风格、颜色、术语、显示错误信息等方面保持一致。

(3)规范性

通常界面设计都按Windows 界面的规范来设计，即包含“菜单条、工具栏、按钮、

右键快键菜单”的标准格式。

(4)合理性

界面大小合适，布局力求简洁、有序、易于操作。

1.3 论文的结构

本论文主要分为五部分：

第一章：绪论。主要介绍了本课题的写作目的，相关的研究现状，以及本论文的创新点和论文的结构。

第二章：高阶多智能体一致性调整的方法。主要介绍高阶多智能体的性能指标，一阶系统和二阶系统的性能指标，高阶多智能体一致性调整方法的分类。

第三章：高阶多智能体的根轨迹一致性调整。介绍了基于根轨迹法的运动控制超前一致性调整网络设计的理论基础，算法步骤和仿真实现；基于根轨迹法的运动控制滞后一致性调整网络设计的理论基础算法步骤和仿真实现；以及基于根轨迹法的运动控制滞后超前一致性调整网络设计的理论基础算法步骤和仿真实现。设计了基于根轨迹的运动控制一致性调整的GUI 界面。

第四章：高阶多智能体一致性调整的频率特性法。主要介绍了基于频率法的运动控制超前一致性调整网络设计的理论基础，算法步骤和仿真实现；基于频率法的运动控制滞后一致性调整网络设计的理论基础，算法步骤和仿真实现；以及基于频率法的运动控制滞后超前一致性调整网络设计的理论基础，算法步骤和仿真实现。设计了基于频率特性的运动控制一致性调整的GUI 界面。

第五章：结论。

2 高阶多智能体一致性调整的方法

高阶多智能体的一致性调整属于系统设计的环节，主要是指定高阶多智能体期望的性能指标，并依据这些指标计算出开环系统的特性，然后比较期望的开环系统和实际系统的开环特性，并依据这些结果来确定在开环系统中增加某些一致性调整装置并计算出一致性调整装置的参数。

2.1高阶多智能体的性能指标

高阶多智能体的性能指标主要有两种形式：

(1) 时域性能指标是描述系统输出信号随时间变化的一些特征参数，包括静态性能指标和动态性能指标。

(2) 频域性能指标是通过系统的开环频率特性和闭环频率特性的一些特征量间接地表征系统的性能。包括：开环频率特性中的相位裕量、增益裕量；闭环频率特性中的谐振峰值、频带宽度和谐振频率等。

2.1.1高阶多智能体的时域指标

高阶多智能体的时域指标包括静态性能指标和动态性能指标。静态性能指标指在无静差度（系统型别），典型输入（单位阶跃输入，单位斜坡输入，单位加速度输入）作用下的稳态误差e ss 。扰动引起的误差也属于稳态性能指标的范畴。

动态性能指标主要是指调节时间t s 和超调量σ%。此外还有上升时间t r ，峰值时间t p 等。通常采用调节时间t s 和超调量σ%来刻画系统的瞬态性能指标，如图2-1。

图2-1 系统的单位阶跃响应曲线

(1) 上升时间t r ：输出响应第一次达到稳态值的时间。考虑到不敏感区或者允许

误差，有时定义为输出响应稳态值的10%到90%所需的时间。

(2) 峰值时间t p ：输出响应超出稳态值达到的第一个峰值所需的时间。

(3) 最大超调量（简称超调量）σ%：瞬态过程中输出响应的最大值超过稳态值的百分比，即

σ%=

y max -y (∞)

⨯100% (2-1)

y (∞)

(4) 调节时间t s ：输出与其对应于输入的终值之间的偏差达到容许范围（一般取5%或2%）所经历的暂态过程时间（从t=0开始计时）称为调节时间。

2.1.2高阶多智能体的频域指标

频域性能指标包括开环频域指标和闭环频域指标[7]。

开环频域指标主要包括截止角频率ωc ，相角稳定裕度γ（简称相角裕度）和增益稳定裕度L g （简称幅值裕度），如图2-2,2-3。

4020

-20

ϕ(ω)

-90

︒

-180-270图2-2 系统的Bode 图

图2-3 系统的奈奎斯特图

称G (j ω) =1的频率为系统的截止角频率，用ωc 表示，即

G (j ωc ) =1。 (2-2)

定义相角稳定裕度γ=180o +∠G (j ωc ) ，其物理意义是，如果开环系统对频率为ωc

的信号的相位滞后再增加γ，系统处于临界稳定状态。

设使∠G (j ω)=-180 时的频率为ωg ，定义

k g =

，L g =-20lg G (j ωg ) (2-3)

G (j ωg )

其中，k g 为系统的幅值裕度。

幅值裕度的物理意义是，如果开环增益再增加k g 倍，系统将处于临界稳定状态。

2.1.3一阶系统的性能指标

一阶系统的闭环传递函数为

C (s ) 1

= (2-4) R (s ) Ts +1

其单位阶跃响应为

C (s ) =

111

R (s ) = (2-5) Ts +1Ts +1s

C (t ) =1-e (2-6)

单位阶跃响应曲线如图2-4。

-t

图2-4 一阶系统的单位阶跃响应曲线

由分析知，一阶系统的性能指标： (1) 调节时间

⎧4T , ∆=0.02

(2-7) t s =⎨

⎩3T , ∆=0.05

(2) 超调量σ%=0，即一阶系统是无超调的系统。

2.1.4二阶系统的性能指标

典型二阶系统的方框图，如图2-5。

)

图2-5 典型二阶系统的框图

闭环传递函数为

2ωn C (s )

(2-8) =2

R (s ) s +2ζωn s +ωn

其中，ζ为阻尼比，ωn 为无阻尼自然振荡角频率。

下面具体分析欠阻尼即0

图2-6 二阶系统在欠阻尼时的零极点图

系统的单位阶跃响应为

c (t ) =1-

-ζωn ωd +ϕ)

(2-9)

其中，ωd =ω

ϕ=系统的单位阶跃响应曲线如图2-7。

图2-7 二阶系统在欠阻尼时的单位阶跃响应曲线

二阶系统的性能指标（欠阻尼情形） (1) 上升时间t r =

π-ϕ

；

(2-10) ωd

(2) 峰值时间t p =

； (2-11)

(3)

超调量σ%=e ⨯100% ； (2-12)

⎧3

⎪ζω, 取∆=5⎪

(4) 调节时间t s =⎨n 。 (2-13)

⎪4, 取∆=2⎪⎩ζωn

2.2高阶多智能体的一致性调整方式

按一致性调整装置在系统中的连接方式，高阶多智能体的一致性调整方式可以分

为运动控制一致性调整，反馈一致性调整，前馈一致性调整和复合一致性调整等。一致性调整装置运动控制在系统的前向通道中，称为运动控制一致性调整，如图2-8。为了减少功率损耗，运动控制一致性调整装置一般接在系统误差测量点之后和放大器之前，即低功率部分。

一致性调整装置接在系统的局部反馈通道中，称为反馈一致性调整，如图2-9。前馈一致性调整又称顺馈一致性调整，是在系统的主回馈通道之外采用的一致性调整方式，如图2-10。前馈一致性调整的作用通常有两种：一种是对参考输入信号进行整形和滤波，此时一致性调整装置接在系统参考输入信号之后，主反馈作用之前的前向通道上。另外一种作用是对扰动信号进行测量、转换后接入系统，形成一条附加的对扰动影像进行补偿的通道。

复合一致性调整是指在系统中同时采用运动控制（或反馈）一致性调整和前馈一致性调整。

图2-8 运动控制一致性调整框图

图2-9 反馈一致性调整框图

图2-10 前馈一致性调整框图

系统设计中，采用何种形式的一致性调整方式，取决于系统中信号的性质、技术实现的方便性、可供选择的元件、经济性、抗干扰性、使用环境条件以及设计者的经验等因素。在设计时需要综合考虑。

根据一致性调整装置的特性，可分为超前一致性调整装置、滞后一致性调整装置和超前滞后一致性调整装置。

(1)超前一致性调整装置

一致性调整装置输出信号在相位上超前于输入信号，即一致性调整装置具有正的相角特性，这种一致性调整装置称为超前一致性调整装置，对系统的一致性调整称为超前一致性调整。

(2)滞后一致性调整装置一致性调整装置输出信号在相位上滞后于输入信号，即一致性调整装置具有负的相角特性，这种一致性调整装置称为滞后一致性调整装置，对系统的一致性调整称为滞后一致性调整。

(3)滞后超前一致性调整装置

一致性调整装置在某一频率范围内具有负的相角特性，而在另一频率范围内却具有正的相角特性，这种一致性调整装置称为滞后超前一致性调整装置，对系统的一致性调整称为滞后超前一致性调整。

3 高阶多智能体的根轨迹一致性调整

3.1 根轨迹方法

根轨迹方法是埃文斯(W.R.Evans)于1948年提出的一种求解闭环特征方程根的图解方法。它根据开环传递函数的极点与零点的分布，用作图方法求得闭环极点在s 平面内随回路增益变化的轨迹。

根轨迹方法不仅研究闭环极点分布与回路增益之间关系的方法，而且经过推广还可以利用这种方法来选择除了系统回路增益之外的参数，以使闭环系统的极点分布在预先确定的位置附近[8]。

3.2开环零极点对根轨迹的影响

系统开环零极点的分布对于系统的性能有着直接的影响。

设单位负反馈系统的开环传递函数为

b m s m +b m -1s m -1+ +b 0

， (3-1) G o (s)=n n -1

a n s +a n -1s + +a 0

则系统的闭环特征方程为

（a n s n +a n -1s n -1+ +a 0）（+b m s m +b m -1s m -1+ +b 0）=0。 (3-2)

由上式知，闭环系统的极点位置，即系统根轨迹的位置，是由开环极点和零点的

位置所共同决定的。所以研究开环零极点对于根轨迹的影响是进行根轨迹一致性调整的前提。下面分别研究开环零点和开环极点对根轨迹的影响。

3.2.1开环零点对根轨迹的影响

在开环系统中增加零点，可以使系统的根轨迹向左移动，从而增加系统的相对稳定性，减小系统响应的调节时间。

图3-1 增加零点对系统根轨迹的影响

证明：设s 为原系统根轨迹上的一点，若

∑θ

i =0

为零点相对s 的相角和，

∑θ

i =0

为极点相对s 的相角和。

由辐角定理，有：∑θzi -∑θpi =（2k +1) ⨯180 , k =0，±1, ±2, (3-3)

i =0

现增加一零点Zc ，则θZc +∑θzi -∑θpi ≠（2k +1) ⨯180 , k =0，±1, ±2, (3-4)

i =0

m n

'为零点相对s 1的相角和，故根轨迹必然会移动。设增加零点后根轨迹通过s 1，∑θzi

i =0

m +1

∑θ'为极点相对s 的相角和。

i =0

m +1i =0

'-∑θpi '=（2k +1) ⨯180 , k =±1, ±2, (3-5) 若s 1在s 的右侧，则无法满足∑θzi

i =0

所以，增加一个零点必然使得根轨迹左移，从而使主导极点距虚轴的距离增大，

即ζωn 增大，从而使系统的稳定性增加，调节时间t s =

ζωn

减小。

3.2.2开环极点对根轨迹的影响

在开环系统中增加极点，可以使系统的根轨迹向右移动，从而降低系统的相对稳定性，增加系统的调节时间。

图3-2 增加极点对系统根轨迹的影响

3.2.3开环偶极子对根轨迹的影响

开环偶极子是指开环系统中相距很近（和其他零极点相比）的一对零点和极点。由于偶极子到其他零极点的矢量近似相等，因此它们在模值条件和辐角条件中的作用相互抵消，几乎不改变根轨迹的形状，也就是说，它们对系统的稳定性和瞬态性能几乎没有影响。

但值得注意的是，如果这对偶极子靠近原点, 会较大的影响系统的稳态性能，因为它们能够改变系统的开环增益。

若在原系统中增加一对偶极子Z m +1，P n +1，则，

K =k g

∏Z

i =1n j =1

∏P

Z m +1Z

=K m +1 (3-6) P n +1P n +1

其中，K ' 为增加偶极子后系统的开环增益，K 为原系统的开环增益。

若Z m +1=10P

图3-3 开环偶极子对根轨迹的影响

3.3基于根轨迹的超前一致性调整

3.3.1超前一致性调整装置

超前一致性调整装置的传递函数为：

G c (s ) =K c

s +Z c

(3-7) s +P c

图3-4为超前一致性调整装置的零极点图。

图3-4 超前一致性调整装置的零极点图

根据图中的角度标记，对于上半复平面内的任一实验点s 0，G c (s ) 的辐角为

arg[G c (s )]=arctan(s 0+Z c ) -arctan(s 0+P c ) =θ-ψ =ϕ>0

所以，超前一致性调整装置提供了一个超前角ϕ。由上述过程可知，超前一致性调整装置总是使一致性调整后的开环传递函数的辐角增加。同时，由于超前一致性调整装置中零点的作用大于极点，所以超前一致性调整装置将使原系统的根轨迹左移。总之，超前一致性调整可以增加系统的稳定裕度并提高闭环系统的响应速度。

(3-8)

3.3.2超前一致性调整的步骤

基于根轨迹的超前一致性调整的步骤如下：

(1) 绘制未一致性调整系统的根轨迹，如果希望的闭环主导极点S d 在未一致性调整系统根轨迹的左方，则可以使用超前一致性调整；

(2) 根据给定的闭环主导极点S d 来计算所需要的超前角ϕ；

(3) 根据步骤2所得的超前角选择合适的算法计算一致性调整装置传递函数的零点和极点；

(4) 利用给定的系统参数和模条件计算一致性调整装置的比例系数K C ；

(5) 绘制一致性调整后系统的根轨迹图，检验闭环主导极点以及其他闭环性能要求是否符合要求。若不满足要求，重新进行步骤2和步骤3，直至找到合适的参数为止。

在使用计算机编程进行计算时，规定循环计算一定的次数来寻找合适的一致性调整装置参数。若进行一定的迭代后仍找不到合适的参数，则判定算法失败。

3.3.3算法流程图

基于根轨迹的超前一致性调整的算法流程图，如图3-5。

图3-5 基于根轨迹的超前一致性调整的算法流程图

3.3.4实例仿真

已知系统的开环传递函数为：

G o (s ) =2.3 (3-9) s (0.2s +1)(0.15s +1)

试设计超前一致性调整环节，使系统满足下列性能指标：静态速度误差系数K V ≥4，闭环主导极点满足阻尼比ξ=0.5，自然振荡角频率ωn =7.0rad /s 。并绘制一致性调整前后系统的单位阶跃响应曲线和根轨迹。

在“分子行列式”的输入框内输入原系统分子行列式系数2.3，在“分母行列式”的输入框内输入原系统分母行列式系数 [ 0.03 .035 1 0 ] , 在“静态误差系数”的输入框内输入希望的静态误差系数4，在“阻尼比”的输入框内输入希望的阻尼比0.5，在“自然振荡角频率”的输入框内输入希望的自然振荡角频率7。

然后点击“计算一致性调整装置参数并绘图”按钮，则该GUI 程序将自动计算一致性调整系统的参数，并在“一致性调整装置参数”一栏中给出计算后的系统参数，并在右侧的绘图区画出原系统和一致性调整后系统的根轨迹及其各自的单位阶跃响应曲线，如图3-6所示。

从运行结果可知，运动控制滞后一致性调整环节的传递函数为：

s +3.0484G c (s ) =14.3368 (3-10) s +25.0101

一致性调整后系统的速度误差系数为4.01917，闭环主导极点为-3.5±j6.06，满足期望的性能指标。

图3-7为一致性调整前后系统的根轨迹图的放大图示和一致性调整前后系统的阶跃响应曲线的放大图示。

图3-7 一致性调整前后系统的根轨迹和单位阶跃响应曲线

在单位阶跃响应曲线上可得到系统的超调量和调节时间。由结果可以看出，一致性调整前的系统超调量σ%=18％，调节时间t s =2.8s；一致性调整后的超调量

σ%=9％，调节时间t s =1.25s，超调量变小，调节时间变短，可知一致性调整后系统

的性能提高了。

从根轨迹图可以看出，一致性调整后系统根轨迹左移，从而提高系统的相对稳定性，缩短了系统调节时间。

3.4基于根轨迹的滞后一致性调整

3.4.1滞后一致性调整装置

滞后一致性调整装置的传递函数为：

G c (s ) =s +Z c (3-11) s +P c

图3-8为滞后一致性调整装置的零点和极点的位置图。

图3-8 滞后一致性调整的零极点图

滞后一致性调整系统的零极点距离原点很近，且两者的间距也很小，是一对偶极子，从而能够增加系统的开环增益而不改变系统的根轨迹形状和闭环极点的位置。与超前一致性调整装置相反，滞后一致性调整装置传递函数的辐角为负值。一般情况下，进行运动控制滞后一致性调整后的根轨迹在复平面上会向右移动。

一般而言，滞后一致性调整不能改善系统的闭环稳定性，也不能使闭环系统的时间响应加快，所以，滞后一致性调整一般不用于稳定裕度不大或者时间响应较慢的系统，只用于减小系统的静态误差和提高系统的抗干扰能力。

3.4.2滞后一致性调整的步骤

基于根轨迹的滞后一致性调整的步骤如下：

(1) 根据稳态精度要求，确定所需要的开环增益值K （或者是静态误差系数K p ，

； K v 或K a ）

(2) 绘制未一致性调整前系统的根轨迹；

(3) 确定希望的主导极点应置于根轨迹上的位置，并确定该点的增益值K 1（或静态误差系数K p 1，K v1或K a1）；

(4) 取β=K ； K 1

(5) 画出一致性调整后系统的根轨迹图，检验闭环主导极点以及其他闭环特性要求是否得到满足，若不满足则适当修改β值，并重新选择Z c ，P c 使之满足性能要求。

3.4.3算法流程图

基于根轨迹的滞后一致性调整的算法流程图，如图3-9所示。

图3-9 基于根轨迹的滞后一致性调整的算法流程图

3.4.4实例仿真

已知单位负反馈系统的开环传递函数为：

G o (s ) =17.1239 (3-12) s (s +3)(s +5)

设计运动控制滞后一致性调整装置使系统的静态速度误差系数为K V =10。绘制一致性调整后系统的根轨迹图和阶跃响应曲线。

在“分子行列式”的输入框内输入原系统分子行列式系数17.1239，在“分母行列式”的输入框内输入原系统分母行列式系数 [1 8 15 0 ] , 在“静态误差系数”的输入框内输入希望的静态误差系数10。

然后点击“计算一致性调整装置参数并绘图”按钮，则该GUI 程序将自动计算一致性调整系统的参数，并在“一致性调整装置参数”一栏中给出计算后的系统参数，并在右侧的绘图区画出原系统和一致性调整后系统的根轨迹及其各自的阶跃响应曲线，如图3-10。

从运行结果可知，运动控制滞后一致性调整环节的传递函数为：

s +0.087597G c (s ) = (3-13) s +0.01

一致性调整后系统的速度误差系数为9.9999，闭环主导极点为-0.979±j1.31，与一致性调整前得闭环主导极点基本重合，满足期望的性能指标。

图3-11为一致性调整前后系统的根轨迹图和单位阶跃响应曲线的放大图示。

图3-11一致性调整前后系统的根轨迹和单位阶跃响应曲线

从根轨迹图可以看出，一致性调整后系统根轨迹稍微右移。一致性调整后系统的速度误差系数增加，系统的静态性能得到改善。通过根轨迹的右移也可以看出系统的调节时间t s 会增加。但是滞后一致性调整使得系统的速度误差系数得到增加，从而

减小了系统的速度误差，使得系统的静态性能得到改善。

在单位阶跃响应曲线上可得到系统的超调量和调节时间。由结果可以看出，一致性调整后系统的超调量σ%和调节时间t s 都比一致性调整前要稍大，这是由于滞后一

致性调整不能改善系统的闭环稳定性，也不能使闭环系统的时间响应加快。

3.5基于根轨迹的滞后超前一致性调整

3.5.1滞后超前一致性调整装置

滞后超前一致性调整装置的传递函数为：

G c (s ) =K c s +Z c 1s +Z c 2 (3-14) s +P c 1s +P c 2

图3-12为滞后超前一致性调整装置的零极点图。

图3-12 滞后超前一致性调整装置的零极点图

滞后超前一致性调整装置的一对零点和极点与超前一致性调整装置的零点和极点的位置相对应，它们远离原点；另一对零点和极点与滞后一致性调整装置的零点和极点位置相对应，它们是一对偶极子，接近原点。

所以，滞后超前一致性调整装置兼有超前一致性调整的功能和滞后一致性调整的功能，即它既能增加系统的稳定裕度，提高系统的响应速度，又能减小系统的静态误差。

由以上的分析可知，在设计滞后超前一致性调整装置时，可以将其分解为超前一致性调整装置和滞后一致性调整装置分别设计。 3.5.2滞后超前一致性调整的步骤

基于根轨迹的滞后超前一致性调整的步骤如下：

(1) 根据给定的性能指标确定希望的主导极点S d 位置；

(2) 根据给定的闭环主导极点S d 来计算所需要的超前角ϕ；

(3) 根据步骤2所得的超前角选择合适的算法计算一致性调整装置传递函数中超前一致性调整部分的零点和极点；

(4) 利用给定的系统参数利用模条件计算一致性调整装置的比例系数K C ；

K c S d +Z c 1P (S d ) =1 (3-15) S d +P c 1

其中，P (S d ) 为未一致性调整系统的开环传递函数。

(5) 根据稳态性能指标（开环增益K ）的计算公式确定一致性调整装置滞后部分零极点的关系，并求β值；

β=Z c 2Z Z , K =K c c 1c 2P (0) (3-16) P c 2P c 1P c 2

其中，P (0)为未一致性调整系统的开环传递函数在s=0时的取值。

(6) 根据步骤5确定的β值，在原点附近寻找-Z c2和-P c2, 使之满足

S d +Z c 2≈1 (3-17) S d +P c 2

arg(S d +Z c 2)

3.5.3算法流程图

基于根轨迹的滞后超前一致性调整的算法流程图，如图3-13 。

图3-13 基于根轨迹的滞后超前一致性调整的算法流程图

3.5.4实例仿真

已知车辆导航系统的开环传递函数为：

G o (s ) =8 (3-19) s (s +0.4)

试设计超前滞后一致性调整环节，使系统满足下列性能指标：静态速度误差系数为K V =5，闭环主导极点满足阻尼比ξ=0.2，自然振荡角频率为ωn =5rad/s ，并绘制一致性调整前后系统的阶跃响应曲线、根轨迹[10]。

在“分子行列式”的输入框内输入原系统分子行列式系数8，在“分母行列式”的输入框内输入原系统分母行列式系数 [1 0.4 0 ] , 在“静态误差系数”的输入框内输入希望的静态误差系数5，在“阻尼比”的输入框内输入希望的阻尼比0.2，在“自然振荡角频率”的输入框内输入希望的自然振荡角频率5。

然后点击“计算一致性调整装置参数并绘图”按钮，则该GUI 程序将自动计算一致性调整系统的参数，并在“一致性调整装置参数”一栏中给出计算后的系统参数。

从运行结果可知，运动控制滞后一致性调整环节的传递函数为：

s +3.8252s +0.0010593G c (s ) =4.0321 (3-20) s +6.5256s +0.01

一致性调整后系统的速度误差系数为4.9819，闭环主导极点为-1.01±j4.9，满足期望的性能指标。

图3-15为一致性调整前后系统的根轨迹图和系统的单位阶跃响应曲线的放大图示。

在单位阶跃响应图上可得到系统的超调量和调节时间。由结果可以看出，一致性调整前的系统超调量σ%=80％，调节时间t s =18s；一致性调整后的超调量σ%=60％，调节时间t s =4s，超调量变小，调节时间变短，可知一致性调整后系统的性能显著提

高。

从根轨迹图可以看出，一致性调整后系统根轨迹左移，从而提高系统的相对稳定性，缩短了系统调节时间。同时，系统的静态性能指标也能够满足要求。

3.6本章小结

本章主要研究的是高阶多智能体一致性调整的根轨迹法。讨论了超前一致性调整装置，滞后一致性调整装置和滞后超前一致性调整装置，并分别针对基于根轨迹法的运动控制超前一致性调整，滞后一致性调整和滞后超前一致性调整给出了算法步骤，绘制了响应算法流程图，编写了通用程序，同时应用MATLAB 的GUI 对系统进行了可视化界面的设计，并用实例进行了仿真，仿真显示一致性调整后的系统性能改善，表明了此设计方法的有效性。

高阶多智能体一致性研究问题

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