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2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q试证σx=σy=-q 及τxy=0能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。
证明： （1）将应力分量σx=σy=-q，τxy=0和fx=fy=0分别代入平衡微分方程、相容方程
⎧∂σx∂τyx
++fx=0⎪
∂y⎪∂x
（a） ⎨∂σ∂τ
⎪y+xy+fy=0⎪∂x⎩∂y
∂fx∂fy∂2∂2
(2+2)(σx+σy)=-(1+μ（)+）=0 （b）
∂x∂y∂x∂y
显然（a）、（b）是满足的
（2）对于微小的三角板A,dx,dy都为正值，斜边上的方向余弦l=cos(n,x),m=cos(n,y),将σx=σy=-q，τxy=0代入平面问题的应力边界条件的表达式
⎧⎪(lσx+mτyx)s=x(s)
（c） ⎨
⎪⎩(mσy+lτxy)s=y(s)
则有σxcos(n,x)=-qcos(n,x) 所以σx=-q，σy=-q。
对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。 （3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。
该题为平面应力的情况，首先，将应力分量σx=σy=-q及τxy=0代入物理方程，得形变分量εx=
σycosn(,y)=-qcosn(,y)
(μ-1)(μ-1)
q，εy=q，γxy=0 （d） EE
然后，将（d）的变形分量代入几何方程，得
∂u(μ-1)∂v(μ-1)∂v∂u
=q，=q，+=0 （e） ∂xE∂yE∂x∂y
前而式的积分得到 u=
(μ-1)(μ-1)
qx+f1(y)，v=qy+f2(x) （f） EE
其中的f1和f2分别是y和x的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f）代入（e）的第三式得 -
df1(y)df2(x)
=
dydx
等式左边只是y的函数，而等式右边只是x的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数ω，于是有
df(x)df1(y)
=ω，积分以后得f1(y)=-ωy+u0，f2(x)=ωx+v0 =-ω，2
dxdy
代入（f）得位移分量
(μ-1)⎧
u=qx-ωy+u0⎪E ⎨(μ-1)⎪v=qy+ωx+v
E⎩
其中u0,v0,ω为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。
从式（g）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确
的解答。
2-17设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F ，体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力σx和切应力τxy的表达式，并取挤压应力σy=0，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。
解〔1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为M(x)=-Fx，横
h3
截面对z轴（中性轴)的惯性矩为Iz=，根据材料力学公式，弯应力
12
σx=
M(x)y12F
=-3xy；该截面上的剪力为Fs(x)=-F，剪应力Izh
3Fs(x)4y26Fh2
τxy=(I-2)=-3(-y2)；并取挤压应力σy=0
2hhh4
（2）经验证，上述表达式能满足平衡微分方程
⎧∂σx∂τyx
++fx=0⎪∂∂y⎪x
⎨
⎪∂σy+∂τxy+f=0
y⎪∂y∂x⎩
∂fy∂f∂2∂2
也能满足相容方程(2+2)(σx+σy)=-(1+μ（)x+）=0
∂x∂y∂x∂y
再考察边界条件：在y=±h/2的主要边界上，应精确满足应力边界条件：
(σy)y=h/2=0，(τyx)y=h/2=0； (σy)y=-h/2=0，(τyx)y=-h/2=0。
能满足
在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件：
⎧h/2(σ)dy=0
xx=0
⎪⎰-h/2⎪h/2
⎨⎰-h/2(σx)x=0ydy=0 ⎪h/2⎪(τ)dy=-F⎩⎰-h/2xyx=0
满足应力边界条件。
在次要边界x=l上，列出三个积分的应力边界条件：
h/212F⎧h/2
(σ)dy=xx=l⎪⎰-h/2⎰-h/2h3lydy=0⎪
h/212F2⎪h/2
(σ)ydy=⎨⎰-h/2xx=l⎰-h/2h3ly=-Fl
⎪
h/2⎪h/26Fh22
⎪⎰-h/2(τxy)x=0dy=⎰-h/23(-y)=-F
4h⎩
满足应力边界条件
因此，他们是该问题的解答。
3-8设题3-8图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为ρ，试用纯三次式的应力函数求解。
解（1）相容条件：
设Φ=Ax+Bxy+Cxy+Dy (a)
不论上述中的系数取何值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程。 （2）体力分量fx=o,fy=ρg由应力函数得应力分量的表达式
3
2
2
3
∂2Φ
σx=2-fxx=2Cx+6Dy (b)
∂y∂2Φ
σy=2-fyy=6Ax+2By-ρgy (c)
∂y
τxy
∂2Φ=-=-2Bx-2Cy (d)
∂x∂y
（3)考察边界条件：利用边界条件确定待定系数
先考察主要边界上y=0的边界条件：(σy)y=0=0， (τyx)y=0=0 将应力分量式(b)和式（c）代入，这些边界条件要求
(σy)y=0=6Ax=0，(τxy)y=0=-2Bx=0 得A=0，B=0。
式(b)、（c）、（d）成为
σx=2Cx+6Dy （e）
σy=-ρgy （f） τxy=-2Cy （g）
根据斜边界的边界条件,它的边界线方程是y=xtanα,在斜面上没有任何面力，即
x=y=0,按照一般的应力边界条件，有
⎧⎪l(σx)y=xtanα+m(τxy)y=xtanα=0
⎨
m(σ)+l(τ)=0⎪yy=xtanαxyy=xtanα⎩
将(e)、（f）、（g）代入得
l(2Cx+6Dxtanα)+m(-2Cxtanα)=0 （h） m(-ρgxtanα)+l(-2Cxtanα)=0 （i）
由图可见，
l=cos(n,x)=cos(
π
2
+α)=-sinα ， m=cos(n,y)=cosα
代入式（h）、(i)求解C和D,即得C=
ρg
2
cotα，D=-
ρg
3
cot2α
将这些系数代入式(b)、（c）、（d）得应力分量的表达式
⎧σx=ρgxcotα-2ρgycot2α⎪
⎨σy=-ρgy
⎪
⎩τxy=-ρgycotα
4-12楔形体在两侧面上受有均布剪力q，如题4-12图所示.试求其应力分量
。
解 （1）应力函数Φ=ρ2(Acos2ϕ+Bsin2ϕ+Cϕ+D)，进行求解 由应力函数Φ得应力分量
⎧1∂Φ1∂2Φ
+2=-2(Acos2ϕ+Bsin2ϕ-Cϕ-D)⎪σρ=2
ρ∂ρρ∂ϕ⎪⎪∂2Φ⎪
=2(Acos2ϕ+Bsin2ϕ+Cϕ+D) ⎨σϕ=2
∂ρ⎪⎪∂1∂Φ
()=2Asin2ϕ-2Bcos2ϕ-C⎪τρϕ=-∂ρρ∂ρ⎪⎩
（2）考察边界条件：根据对称性，得
(σϕ)α/2=0 （a） (τρϕ)α/2=q （b） (σϕ)-α/2=0 （c） (τρϕ)-α/2=-q （d）
由式（a）得2Acosα+2Bsinα+Cα+2D=0 （e） 由式（b）得2Asinα-2Bcosα-C=q （f） 由式（c）得2Acosα-2Bsinα-Cα+2D=0 （g） 由式（d）得-2Asinα-2Bcosα-C=-q （h） 式（e）、（f）、（g）、(h)联立求解，得A=将以上系数代入应力分量，得
,B=C=0,D=-cotα
2sinα2
cos2ϕ⎧
σ=-q(+cotα)⎪ρ
sinα
⎪
cos2ϕ⎪
σ=q(-cotα) ⎨ϕ
sinα⎪
sin2ϕ⎪
τ=q⎪ρϕ
sinα⎩
4一13设有内半径为r,外半径为R的圆筒受内压力q，试求内半径和外半径的改变，并求
圆筒厚度的改变。
解 本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q的情况下，取应力分量表达式（B=0），内外的应力边界条件要求
(τρϕ)ρ=r=0，(τρϕ)ρ=R=0
(σρ)ρ=r=-q，(σρ)ρ=R=0
由表达式可见，前两个关于τρϕ的条件是满足的，而后两个条件要求
⎧A
+2C=-q2⎪⎪r
⎨
⎪A+2C=0⎪⎩R2
qR2r2qr2
由上式解得A=-2，C= (a)
(R-r2)2(R2-r2)
把A,B,C值代入轴对称应力状态下对应的位移分量，
⎡qr2R2⎤
uρ=(1-μ)ρ+(1+μ)⎥+Icosϕ+Ksinϕ （b） 22⎢ρ⎦E(R-r)⎣uϕ=Hρ-Isinϕ+Kcosϕ=0 (c)
式（c）中的ρ,ϕ取任何值等式都成立，所以个自由项的系数为零H=I=K=0。 所以，轴对称问题的径向位移式（b）为
⎡qr2R2⎤uρ=(1-μ)ρ+(1+μ)⎥， 22⎢ρ⎦E(R-r)⎣
而圆简是属于平面应变问题，故上式中E→
Eμ
代替，则有 ,μ→2
1-u1-μ
(1+uρ=q
μ
1-μ1-μ
EρR2
(2-1)2
1-μr
(1+
)R2+(1-
μ
)ρ2
μ
此时内径改变为ur=q
1-μ1-μ
ErR2
(2-1)2
1-μr)R2+(1-
)R2+(1-
μ
)r2
qr(1-μ2)R2+r2μ=(2+)，
ER-r21-μ
(1+
外径改变为uR=q
μμ
1-μ1-μ
ERR2
(-1)1-μ2r2
)R2
qr(1-μ2)2Rr
=22
ER-r
qr(1-μ2)R-rμ
圆环厚度的改变为uR
-ur=-(+)
ER+r1-μ
5.15
5.1
5.2