范文无忧网一元二次方程的解法
(直接开平方法、配方法、公式法和分解法)
一元二次方程定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。 一般形式：ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。 顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数) 交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0)
[有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）的抛物线，即b²-4ac≥0] .
直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)²=n(n≥0)的方程，其解为x=m±
配方法 :
1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根) 2.将二次项系数化为1 3.将常数项移到等号右侧
4.等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.左右同时开平方 7.整理即可得到原方程的根
公式法：
1.化方程为一般式：ax²+bx+c=0 （a≠0） 2.确定判别式，计算Δ（=b²-4ac）；
3.若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x= 若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂= 若Δ
因式分解法：
因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。 用因式分解法解一元二次方程的步骤 1. 将方程右边化为0；
2. 将方程左边分解为两个一次式的积；
3. 令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)。
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)。
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)。
增减性
当a>0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反，同增同减。 当a
常用公式总结：
；
例1：已知关于的方程（1）且关于的方程（2）（1）有整数解？
有两个不相等的实数根，
没有实数根，问取什么整数时，方程
分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，
∴，解得；
∵方程（2）没有实数根∴ ， 解得；
于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是
其中，的整数值有或
当时，方程（1）为，无整数根；
当时，方程（1）为，有整数根。
解得：
所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出是解答本题的基本技巧。
，这也正
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数
项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定式的值，又要确定
或 或
的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为，
∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进
行确定，另外由于本题中仍需考虑
＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，
的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出
的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及
的值。
解法一：把代入原方程，得：
即， 解得
当时，原方程均可化为：
，解得：
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为根据题意，利用韦达定理得：
，
，，可得：，即
∴把解得
∵，∴把代入
代入
，可得：
∴方程
的另一个根为4，
法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
的值为3或—1。 说明：比较起来，解
例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根
的积大21，求的值。 分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。解：∵方程有两个实数根，∴△
设方程两根为
∴解得：
后，还需注意隐含条件
用判别式及根与系数的关系解题。例5：已知
;则
，解得
≤0 ，∴又∵
，∴
∵
整理得：
说明：当求出
。 四、运
，应舍去不合题意的、
是关于的一元二次方程和
能否同号？若能同号，请求出
的两个非零实数根，问
相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，解：因为关于的一元二次方程
有两个非零实数根，∴则有
∴ 又∵、是方程
的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：
假设、同号，则有两种可能：（1）
（2）解不等式组得
若， 则有： ；即有：,
∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若 ， 则有：;即有：,解不等式组，得；
又∵，∴当时，两根能同号 说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭
示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。
六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。例：已知
的两个实数根，求
、是方程
的值。分析：本题可充分运用根的意义
和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。 解法一：由于
是方程
的实数根，所以
设
，
与相加，得：）
（变形目的是构造
和）
根据根与系数的关系，有：
∴
数根，∴
∴
，，得：
、
是方程
的实
说明：既要
=0解法二：由于
熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。例8：已知两方程
和
至少有一个相同的实数根，求
时，根据根的意义，
这两个方程的四个实数根的乘积。分析：当设两方程的相同根为可以构成关于的相同根为
和
的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。解：设两方程
和
， 根据根的意义，有
两式相减，得
当时， ，方程的判别式
方程无实数解
当时， 有实数解
代入原方程，得，所以
于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为
说明：（1）本题的易错点为忽略对
论和判别式的作用，常常除了犯有默认
的讨
的错误，甚至还会得出并不存在的解：
当时，，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积
为：；
（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：
且
另外还应注意：求得的
一、填空题： 1、如果关于的方程
的值必须满足这两个不等式才有意义。
的两根之差为2，那么。
2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则。
3、已知关于的方程
。
的两根为，且，则
4、已知是方程的两个根，那么：；
；。
5、已知关于的一元二次方程
；
。
的两根为和，且，则
6、如果关于的一元二次方程的值为。
的一个根是，那么另一个根是，
7、已知是的一根，则另一根为，的值为。
8、一个一元二次方程的两个根是二、求值题：
和，那么这个一元二次方程为：。
1、已知的值。
是方程的两个根，利用根与系数的关系，求
2、已知值。
是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的
3、已知是方程的值。
的两个根，利用根与系数的关系，求
4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。
5、已知关于x的方程
值及方程的两个根。6、已知方程根，求
的值及这个相同的根。
的两根满足关系式和
，求的
有一个相同的
三、能力提升题：
1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？2、已知关于
的一元二次方程
（1）求证：无论程的两个实数根
取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2）若这个方、
满足
，求
的值。3、若
，关于的方程
有两个相等的正的实数根，求的值。4、是否存在实数，
使关于的方程的两个实根，满足，如果存在，
试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。5、已知关于的一元二次
方程值。 6、实数
、分别满足方程
（）的两实数根为，若，求的
和，求代数式
的值。