平面向量 解三角形 数列 知识点概述
板块一:平面向量
一.向量的基本概念与基本运算 1
①向量:既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c„„来表示,或用有向线段的起点与终
点的大写字母表示,如: AB,a;坐标表示法axiyj(x,y向
量的大小即向量的模(长度),记作|AB|a向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
②零向量:长度为0的向量,记为0,其方向是任意的,0与任意向量平行a=0|
a|=由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)
的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1向量a0为单位向量|a0|=
④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量
线上a∥b(即
自由向量)
数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.
⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为ab小相等,方向相同(x1,y1)(x2,y2)2
求两个向量和的运算叫做向量的加法x1x2
y1y2
设ABa,BCb,则a+b=ABBC=AC
(1)0aa0a;(2)向量加法满足交换律与结合律;
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:
(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的
始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:
. ABBCCDPQQRAR,但这时必须“首尾相连”
3
① 相反向量:与a长度相等、方向相反的向量,叫做a
记作a,零向量的相反向量仍是零向量
aaaa关于相反向量有: (i)(a)=; (ii) +()=()+a=0;
(iii)若a、b是互为相反向量,则a=b,b=a,a+b=0
②向量减法:向量a加上b的相反向量叫做a与b的差,
记作:aba(b
③作图法:ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)
4
①实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下:
(Ⅰ)aa;
(Ⅱ)当0时,λa的方向与a的方向相同;当0时,λa的方向与a的方向相
反;当0时,a0,方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5
向量b与非零向量a共线有且只有一个实数,使得b=a6
如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2使:a1e12e2,其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意:
(1)向量的加法与减法是互逆运算
(2(3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线(重合)的情况(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关
学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点 特别注意三角形的四心的向量表示:
1.平面上点P与不共线的三点A、B、C满足关系:PA+PB+PC=AB,则下列结论正
确的是( )
(A)P在CA上,且CP=2PA (B)P在AB上,且AP=2PB
(C)P在BC上,且BP=2PC (D)P点为△ABC的重心
ABAC
2.△ABC中,向量所在直线( )
ABAC
(A)垂直于BC (B)平分BC边 (C)过△ABC的内心 (D)过△ABC的外心
3.已知点E在ABC所在的平面且满足(0),则点E一定落在( )
A.BC边的垂直平分线上 B.BC边的中线所在的直线上 C.BC边的高线所在的直线上 D.BC边所在的直线上
三点共线定理:
二.平面向量的坐标表示
1在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j
作为基底该平面内的任一向量a可表示成axiyj,由于a与
数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫作a在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关2
(1) 若ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2
(2) 若Ax1,y1,Bx2,y2,则ABx2x1,y2y1
(3) 若a=(x,y),则a=(x, y)
(4) 若ax1,y1,bx2,y2,则a//bx1y2x2y10
(5) 若ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2y1y2
若ab,则x1x2y1y20
三.平面向量的数量积
1
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则a·b=︱a︱·︱b︱cos
叫做a与b规定0a0
ab
2b︱cos=∈R,称为向量b在a方向上的投影|a|
3 a·b等于a的长度与b在a4aaa2|a|2
5
aba2abb
2
2
2222
abababab;
2
22a2abb
6
①交换律成立:abba
②对实数的结合律成立:abababR
③分配律成立:abcacbccab
特别注意:(1)结合律不成立:abcabc;
(2)消去律不成立abac不能得到bc
(3)ab=0不能得到a=0或b=0
7
已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2),则a·b=x1x2y1y2
8向量的夹角:已知两个非零向量a与b,作OA=a, OB=b,则∠AOB=
(0180)叫做向量a与b的夹角
x1x2y1y2ab
cos=cosa,b=2222
abx1y1x2y2
00
当且仅当两个非零向量a与b同方向时,θ=0,当且仅当a与b反方向时θ=180,同时0与
0
9a与b的夹角为90则称a与b垂直,记作a⊥b:
a⊥ba·b=Ox1x2y1y2
例1 判断下列各命题正确与否:
0a0(1);(2)0a0;
(3)若a0,abac,则bc;
⑷若abac,则bc当且仅当a0时成立;
(5)(ab)ca(bc)对任意a,b,c向量都成立;
2
(6)对任意向量a,有aa
2
解:⑴错; ⑵对; ⑶错; ⑷错; ⑸
0
例2已知两单位向量a与b的夹角为120,若c2ab,d3ba,试求c与d的
夹角0
解:由题意,ab1,且a与b的夹角为120, 10
所以,ababcos120,
2
222
ccc(2ab)(2ab)4a4ab
b7,
c
同理可得d
2217
而cd(2ab)(3ba)7ab3b2a,
2
设为c与d的夹角,
则cos
172
182182
点评:向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑
例3 已知a4,3,b1,2,mab,n2ab,按下列条件求实数的
(1)mn;(2)m//n;(3)mn
解:mab4,32,n2ab7,8
52
(1)mn473280;
9
1(2)m//n483270;
2
22
(3)mn4327282524880
板块二:解三角形
1、正弦定理及其变形
abc
2RsinAsinBsinC
(R为三角形外接圆半径)
()1a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC(边化角公式) (2)sinA
abc
,sinB,sinC (角化边公式)2R2R2R
(3)a:b:csinA:sinB:sinC (4)
asinAasinAbsinB,, bsinBcsinCcsinC
2、正弦定理适用情况:
(1)已知两角及任一边(三角形唯一确定)
(2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况)
如:已知 角A ,边长a,b ;要确定三角形的解
方法是:画出A ,在A的一边上截取一个长度b,再来确定边长a有几个解,则三角形有几个解。
3、余弦定理及其推论
b2c2a2
cosA
2222bcabc2bccosA
a2c2b2222
bac2accosBcosB
2ac222
cab
2abcosCa2b2c2
cosC
2ab
4、余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边。
5、常用的三角形面积公式 (1)SABC(2)SABC
1
底高; 2111
absinCbcsinAcasinB(两边夹一角); 222
6、三角形中常用结论
(1)abc,bca,acb(即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)在ABC中,ABabsinAsinB(即大边对大角,大角对大边)
(3)在△ABC中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。
sin
ABCABC
cos,cossin 2222
板块三:数列
专题一:等差数列
1.等差数列的定义:anan1d(d为常数)(n2);
2.等差数列通项公式:
ana1(n1)ddna1d(nN*) , 首项:a1,公差:d,末项:an 推广: anam(nm)d. 从而d
3.等差中项
anam
;
nm
ab
或2Aab 2
b成等差数列,(1)如果a,A,那么A叫做a与b的等差中项.即:A
4.等差数列的前n项和公式:
(2)等差中项:数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2
Sn
n(a1an)n(n1)d1
na1dn2(a1d)nAn2Bn 2222
(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)
特别地,当项数为奇数2n1时,an1是项数为2n+1的等差数列的中间项
S2n1
2n1a1a2n1
2
2n1an1(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以
中间项)
5.等差数列的判定方法
(1) 定义法:若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列.
(2) 等差中项:数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2.
⑶数列an是等差数列anknb(其中k,b是常数)。 (4)数列an是等差数列SnAn2Bn,(其中A、B是常数)。
6.等差数列的证明方法
定义法:若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列.
7.提醒:
(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a1、d、n、an及Sn,其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)设项技巧:
①一般可设通项ana1(n1)d
②奇数个数成等差,可设为„,a2d,ad,a,ad,a2d„(公差为d);
③偶数个数成等差,可设为„,a3d,ad,ad,a3d,„(注意;公差为2d)
8.等差数列的性质: (1)当公差d0时,
等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数,且斜率为公差d; 前n和Snna1
n(n1)dd
dn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0。 222
(2)若公差d0,则为递增等差数列,若公差d0,则为递减等差数列,若公差d0,则为常数列。
(3)当mnpq时,则有amanapaq,特别地,当mn2p时,则有
aman2ap。
注:a1ana2an1a3an2,
(4)若an、bn为等差数列,则anb,1an2bn都为等差数列
(5) 若{an}是等差数列,则Sn,S2nSn,S3nS2n ,„也成等差数列
(6)数列{an}为等差数列,每隔k(kN)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列
(7)设数列an是等差数列,d为公差,S奇是奇数项的和,S偶是偶数项项的和,Sn是前n项的和
1.当项数为偶数2n时,
*
S奇a1a3a5a2n1
na1a2n1
nan
2
S偶a2a4a6a2n
na2a2n
nan1
2
S偶S奇nan1nannan1an=nd
S奇nanan S偶nan1an1
2、当项数为奇数2n1时,则
S奇n1S2n1S奇S偶(2n1)an+1S奇(n1)an+1
S奇S偶an+1S偶nS偶nan+1
(其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项).
(8)an、{bn}的前n和分别为An、Bn,且则
(9)等差数列{an}的前n项和Smn,前m项和Snm,则前m+n项和Smnmn
(10)求Sn的最值
法一:因等差数列前n项和是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性nN。
法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和
*
An
f(n), Bn
an(2n1)anA2n1
f(2n1). bn(2n1)bnB2n1
an0
即当a10,d0, 由可得Sn达到最大值时的n值.
a0n1
(2) “首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。 即 当a10,d0, 由或求an中正负分界项。
an0
可得Sn达到最小值时的n值.
an10
法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,Sn取最大值(或最小值)。若S p = S q则其对称轴为
n
pq
2
注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法: ①基本量法:即运用条件转化为关于a1和d的方程;
②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.
专题二:等比数列
一、基本概念与公式:
1、等比数列的定义:从第二项起
2、等比数列的通项公式:
(1)ana1qn1; (2)anamqnm .(其中a1为首项、am为第m项,an0;等比数列中任意一项都不为0,m,nN)
3、等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式);
aanqa1(1qn)
当q≠1时,Sn==KqnK, Sn=1(运用错位相减来的)
1q1q
4.即是等差又是等比的数列是常数列(非0常数列)
三、有关等比数列的几个特殊结论
1、等比数列an中,若mnpq(m,n,p,qN),则amanapaq
注意:由Sn求an时应注意什么?
n1时,a1S1; n2时,anSnSn1
.
2、等比数列an中的任意“等距离”的项构成的数列仍为等比数列.
3、公比为q的等比数列an中的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、
S4m - S3m、„„(Sm≠0)仍为等比数列,公比为q. 4、若an与bn为两等比数列,则数列kan、an
(k0,k为常数)仍成等比数列. 5、若an为等差数列,则c
m
k
an
、anbn、
bn
(c>0)是等比数列.
an
6、若bnbn0为等比数列,则logcbn(c>0且c1) 是等差数列. 7、在等比数列an中: (1)若项数为2n,则
S偶S奇
q
(2)若项数为2n1,则
S奇a1
S偶
q
n
8、数列an是公比不为1的等比数列数列an前n项和Sn=AqA,(q1,A0)
9、等比数列的判定方法
(1)、an=an-1·q(n≥2),q是不为零的常数,an-1≠0(2)、an=an-1·an+1(n≥2, an-1,an,an+1≠0)(3)、an=c·q(c,q均是不为零的常数)10、等比数列的前n项和的性质
n
2
{an}是等比数列.
{an}是等比数列.{an}是等比数列.
(1)、若某数列前n项和公式为Sn=a
n-1
(a≠0,±1),则{an}成等比数列.
n
(2)、若数列{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+q·Sm.
(3)、在等比数列中,若项数为2n(n∈N*),则
(4)、Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.(片段和的性质)
专题三:有递推公式求通项公式的方法:(整体思想)
高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。 类型1 an1anf(n)
解法:把原递推公式转化为an1anf(n),利用累加法(逐差相加法)求解。 例1. 已知数列an满足a1
11,an1an2,求an。 2nn
K
变式: 已知数列{an}中a11,且a2k=a2k-1+(-1), a2k+1=a2k+3, 其中k=1,2,3,„„.
(I)求a3, a5;(II)求{ an}的通项公式. 类型2 an1f(n)an 解法:把原递推公式转化为例1:已知数列an满足a1例2:已知a13,an1
k
an1
f(n),利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an
2n
an,求an。 ,an1
3n13n1an (n1),求an。 3n2
变式:(2004,全国I,理15.)已知数列{an},满足a1=1,ana12a23a3(n1)an1
(n≥2),则{an}的通项an
n11
___n2
类型3 an1panq(其中p,q均为常数,(pq(p1)0))。 解法(待定系数法):把原递推公式转化为:an1tp(ant),其中t换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列an中,a11,an12an3,求an. 变式:(2006,重庆,文,14)
在数列an中,若a11,an12an3(n1),则该数列的通项an_______________ 变式:(2006. 福建.理22.本小题满分14分)
q
,再利用1p
已知数列an满足a11,an12an1(nN*). (I)求数列an的通项公式; (II)若数列{bn}滿足41424n(Ⅲ)证明:
b1b1
b1
(an1)bn(nN*),证明:数列{bn}是等差数列;
an1a1a2n
...n(nN*). 23a2a3an12
类型4 an1panqn(其中p,q均为常数,(pq(p1)(q1)0))。 (或
an1panrqn,其中p,q, r均为常数) 。
解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以qn1,得:
an1pan1
n引入辅助数列n1
qqqq
bn(其中bnan
n
q
),得:bn1
p1
bn再待定系数法解决。 qq
例:已知数列an中,a1
511n1
,an1an(),求an。 632412
an2n1,n1,2,3, 333
变式:(2006,全国I,理22,本小题满分12分) 设数列an的前n项的和Sn
n
32n
,证明:Ti (Ⅰ)求首项a1与通项an;(Ⅱ)设Tn,n1,2,3,
2Sni1
类型5 递推公式为an2pan1qan(其中p,q均为常数)。(少见) 解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为an2san1t(an1san) 其中s,t满足
stp
stq
类型6 递推公式为Sn与an的关系式。(或Snf(an)) 解
法
:
这
种
类
型
一
般
利
用
S1(n1)an
SnSn1(n2)
与
anSnSn1f(an)f(an1)消去Sn (n2)或与Snf(SnSn1)(n2)消去an
进行求解。
例:已知数列an前n项和Sn4an
12n2
.
(1)求an1与an的关系;(2)求通项公式an.
(2)应用类型4(an1panqn(其中p,q均为常数,(pq(p1)(q1)0)))的方法,上式两边同乘以2由a1S14a1
n1
得:2n1an12nan2
1
a11.于是数列2nan是以2为首项,2为公差的等差数列,12
2
n
所以2nan22(n1)2nann1
2
变式:(2006,陕西,理,2012分)
2
已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an 变式: (2005,江西,文,22.本小题满分14分)
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn-Sn-2=3()的通项公式.
12
n1
3
(n3),且S11,S2,求数列{an}
2
、0,a0) 类型7 an1pananb(p1
解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令
an1x(n1)yp(anxny),与已知递推式比较,解出x,y,从而转化为
anxny是公比为p的等比数列。
例:设数列an:a14,an3an12n1,(n2),求an. 变式:(2006,山东,文,22,本小题满分14分) 已知数列{an}中,a1
1
、点(n、2an1an)在直线y=x上,其中n=1,2,3„ 2
(Ⅰ)令bnan1an3,求证数列 (Ⅱ)求数列an bn是等比数列;的通项;(Ⅲ)设Sn、Tn分别为数列an使得数列bn的前n项和,是否存在实数,、为等差数列?若存在试求出不存在,则说明理由.
SnTn
n
r
类型8 an1pan(p0,an0)
解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为an1panq,再利用待定系数法求解。 例:已知数列{an}中,a11,an1
12
an(a0),求数列an的通项公式. a
变式:(2005,江西,理,21.本小题满分12分)
已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a01,an1
1
an(4an),nN. 2
(1)证明anan12,nN; (2)求数列{an}的通项公式an. 变式:(2006,山东,理,22,本小题满分14分)
2
已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x+2x的图象上,其中=1,2,3,„ (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列;
(2) 设Tn=(1+a1) (1+a2) „(1+an),求Tn及数列{an}的通项; 记bn=
112
,求{bn}数列的前项和Sn,并证明Sn+=1
anan23Tn1
类型9 an1
f(n)an
解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为
g(n)anh(n)
an1panq。
例:已知数列{an}满足:an
类型10 an1anpnq或an1anpqn
解法:这种类型一般可转化为a2n1与a2n是等差或等比数列求解。
例:(I)在数列{an}中,a11,an16nan,求an (II)在数列{an}中,
an1
,a11,求数列{an}的通项公式。
3an11
a11,anan13n,求an
类型11 归纳猜想法 解法:数学归纳法
变式:(2006,全国II,理,22,本小题满分12分)
2
设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,„ (Ⅰ)求a1,a2; (Ⅱ){an}的通项公式 类型12 双数列型
解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
例:已知数列an中,a11;数列bn中,b10。当n2时,
11
an(2an1bn1),bn(an12bn1),求an,bn.
33
类型15 周期型 解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。
1
2a,(0a)nn6例:若数列an满足a2n1
,若a1,则a20的值为___________。
2an1,(12a7n1)
变式:(2005,湖南,文,5) 已知数列{a3n}满足a10,an1
an3a),则a20=
( )
n1
(nN* A.0
B.3 C.3 D.
2
专题四:数列求和
教学目标:1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式; 2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算;3.熟记一些常用的数列的和的公式. 教学重点:特殊数列求和的方法. (一) 主要知识: 1.等差数列与等比数列的求和公式的应用;
2.倒序相加、错位相减,分组求和、拆项求和等求和方法; (二)主要方法:
1.基本公式法:1等差数列求和公式:Sna1ann
2nann1
12d na1q1
2等比数列求和公式:S
,nna
11q 1q
a1anq
1q,q131222n211
6nn12n1;4132333n34nn125C01nCn
C2Cn
nnn2. 2.错位相减法:给Sna1a2an各边同乘以一个适当的数或式,然后把所得的等式
和原等式相减,对应项相互抵消,最后得出前n项和Sn.
一般适应于数列anbn的前n向求和,其中an成等差数列,bn成等比数列。
3.分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列,然后利用公式法求和。
4.拆项(裂项)求和:把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程中消去中间项,
只剩下有限项再求和. 常见的拆项公式有:
1若an是公差为d的等差数列,则
11a11
; nan1danan1
;
2
111;
2n12n122n12n1
1
31111
nn1n22nn1n1n2;
4
1ab;5
1
k
;
6Cm1mm
nCn1Cn
;7nn!n1!n!;8aS1,n1n SnSn1,n≥2
5.倒序相加法:根据有些数列的特点,将其倒写后与原数列相加,以达到求和的目的。6导数法:灵活利用求导法则有时也可以完成数列求和问题的解答. 7.递推法.8.奇偶分析法.
1.求下列数列前n项和:1 14,27,330,„,n3n1; 22,22,222,„,22
2;31111
n个2
13,24,35,„,n(n2)
; 413,24,35,„,n(n2), 5
an
;
6sin21sin22sin23„sin289;7 a,2a2,3a3,„,nan;
2.求和1S1n11211231123n
; 2S1na23n012n
a2a3a
n; 3 Cn3Cn5Cn2n1Cn
(三)典例分析:问题
问题
6n5(n为奇数)
问题3.已知数列{an}的通项ann,求其前n项和Sn
2(n为偶数)
问题4.(05全国Ⅰ文)设正项等比数列an的首项a1
1
,前n项和为Sn,且2
(Ⅱ)求nSn的前n项和Tn. 210S30(2101)S20S100.(Ⅰ)求an的通项;
(四)巩固练习:
1.(06北京)设f(n)2242721023n10(nN),则f(n)等于
2n2n12n32n4 A.(81) B.(81) C.(81) D.(81)
7777
2.明朝程大拉作数学诗:“远望巍巍塔七层,红光点点加倍增,共灯三百八十一,请问尖头
盏灯”.
1111
3.求数列1,2,3,4,„的前n项和.
48216
4.1002992982972„2212
5.在数列an中,an
12n2„,又bn,则数列bn的前n 项n1n1n1anan1
和为
6.求数列
1111
,,,,„的前n项和Sn. 2222
12243648
(五)课后作业:
(06荆州统测)数列an满足递推关系:anan22,且a11,a24.
1求a3、a4;2求an;3求数列an的前n项和.
(六)走向高考:
1.(06广东)在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期 间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有一层,就一个乒乓球;第2、3、4、„堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球总数,则
f(3);f(n)(答案用n表示).
2.(07福建)数列{an}的前n项和为Sn,若an
1
n(n1)
,则S5等于
A.1
B.
56
C.
1
D.
1630
3.(07福建文)“数列an的前n项和为Sn,a11,an12Sn(nN*). (Ⅰ)求数列an的通项an; (Ⅱ)求数列nan的前n项和Tn.
数列综合练习
一、选择题 1、设{an}是等差数列,若a23,a713,则数列{an}前8项的和为( )
A.128 B.80 C.64 D.56
2、记等差数列的前n项和为Sn,若S24,S420,则该数列的公差d( )A、2 B、3 C、6 D、7 3、设等比数列{an}的公比q2,前n项和为SS4
n,则
a( ) 2
A.2
B.4
C.
152
D.
172
4、设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S39,S636,则a7a8a9( A.63 B.45 C.36 D.27
5、在数列{a1n}中,a12, an1anln(1n
),则an( )
21
)
A.2lnn B.2(n1)lnn C.2nlnn D.1nlnn 6、若等差数列{an}的前5项和S525,且a23,则a7( )
(A)12 (B)13 (C)14 (D)15 7、已知an是等比数列,a22,a5
1
,则a1a2a2a3anan1=( ) 4
3232nnnn
(A)16(14) (B)16(12) (C14) (D12)
33
8、非常数数列{an}是等差数列,且{an}的第5、10、20项成等比数列,则此等比数列的
公比为 ( ) A.
11
B.5 C.2 D. 52
9、已知数列{an}满足a10,an1
anan1
(nN*),则a20=( )
2
A.0
B.3 C.3
D.
10、在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,黑、白两只蚂蚁均从点A出发,沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”,白蚂蚁的爬行路线是AA1A1D1D1C1„;黑蚂蚁的爬行路线是ABBB1B1C1„,它们都遵循以下的爬行规则:所爬行的第i+2段与第i段所在的直线必为异面直线(其中i为自然数),设黑、白蚂蚁都爬完2008段后各自停止在正方体的某个顶点处,则此时两者的距离为 ( ) 3 D 0 二、填空题
11.已知an为等差数列,a3a822,a67,则a5____________ 12.设数列an中,a12,an1ann1,则通项an ___________。 13.设Sn是等差数列{an}的前n项和,a128, S99,则S1614.已知函数f(x)2
x
,等差数列{ax}的公差为2.若
,
则
f(a2a4a6a8a10)4
log2[f(a1)f(a2)f(a3)f(a10)] .
15、将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第n行(n3)从左向右的第3个数为 三、解答题
16.已知数列{an}的首项a1
22an1,an1,n1,2,3,„.(Ⅰ)证明:数列1}3an1a
n
22
是等比数列;(Ⅱ)数列n
的前n项和Sn. an
17.数列{an}是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负.
(1)求数列的公差;(2)求前n项和Sn的最大值;(3)当Sn>0时,求n的最大值.
18.设等比数列an的首项a1
1
,前n项和为Sn,且210S30(2101)S20S100, 2
且数列an各项均正。(Ⅰ)求an的通项; (Ⅱ)求nSn的前n项和Tn。
4
a1a8且a1a8
3
(1)求数列an的通项公式; (2)、把数列an的第1项、第4项、第7项、„„、
19.已知等差数列an满足a3a6,
第3n-2项、„„分别作为数列bn的第1项、第2项、第3项、„„、第n项、„„,
23
1
3
求数列2
的所有项之和;
bn
参考答案: 数列测试题(1):
1、 C ;2、B ;3、C; 4、B;5、A ; 6、B ;7、C ;8、C; 9、B; 10、B
nn1n2n6
11. 15;12. ; 1;13. -72 ; 14. -6 ; 15、
22
16、(Ⅰ)解:由x13,得2pq3,又x424p4q,x525p5q,且x1x52x4,
325p5q25p8q,p1,q1
(Ⅱ)解:Sn(222)(12n)217.解:(Ⅰ) an1
2
n
n1
2
n(n1)
. 2
2ana11111111
, n,1(1),
an12an22anan12anan1
又a1
211111
,1, 数列{1}是以为首项,为公比的等比数列. 322a12an
24
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
1111nn11
1n1n,即n1,nn.设an1222an2an2
Tn
123n1nn112
23„n, ① 则Tn23„nn1,② 由①222222222
11(1n)
1111nn11n, ②得Tn2nn1n1nn1
2222222212
1nn(n1)n
123n.又„. 数列{}的前n项和
2n12n2an
Tn2
2nn(n1)n2n4n2
Sn2nn.
2222
18 、(1)由已知a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得:-
2323
<d<-,又56
d∈Z,∴d=-4 (2)∵d<0,∴{an}是递减数列,又a6>0,a7<0 ∴当n=6时,Sn取得最
65n(n1)
(-4)=78 (3)Sn=23n+ (-4)>0,整理得:n(50-4n)2225
>0 ∴0<n<,又n∈N*,所求n的最大值为12.
2
19.(Ⅰ)由 210S30(2101)S20S100 得 210(S30S20)S20S10, 即
大值,S6=6×23+
210(a21a22a30)a11a12a20,可得
210q10(a11a12a20)a11a12a20.因为an0,所以 210q101, 解得
1111q,因而 ana1qn1n,n1,2,. (Ⅱ)因为{an}是首项a1、公比q
2222
11(1n)
11,nSnn.则数列{nS}的前n项和的等比数列,故Snnn12n2n1212n
Tn(12n)(2n),
222
Tn112n1n(12n)(23nn1). 222222
T1111n
前两式相减,得 n(12n)(2n)n1
22222211(1n)
n(n1)n 即 Tn(n1)1n2. n
122n12n42n112
20、●解、①总投入:a1=800万元, ② 总收入:b1=800万元,
25
4n5n
1-() 1-()
54
an = 800×n = 400×
45 1- 1-544n5n
=4000[1-()]
54
4n5n4n24n22
考查 bn- an >0 则5×()+2×() -7>0;设 ()=x,则5x-7x+2> 0从而有 (
545555 有n≥5
21.解:(1){an}为等差数列,a3a6a1a8
14
,又a1a8且a1a8 33
公
差
求得
a11,
n
a84
3
43
d
a8a11
73
∴
11
an1(n1)
33
nN*
1
3
4
n2 ∴3
(2)b1a11,b2a40 ∴bna3n2(3n2)
2bn12bn
2(n1)22n2
1 ∴{2bn}是首项为2,公比为1的等比数列 ∴{2bn}的所有项的和
22
为
211
2
4
26