立体几何--空间向量大题

16、 （14 分）如图，在底面是正方形的四棱锥 P-ABCD 中， PA ⊥ 面 ABCD，BD 交 AC 于点 E，F 是 PC 中点，G 为 AC 上一点。 （Ⅰ）求证：BD ⊥ FG； （Ⅱ）确定点 G 在线段 AC 上的位置，使 FG//平面 PBD，并说明 理由； (Ⅲ)当二面角 B-PC-D 的大小为 角的正切值。

F A E G B C D P

2π 时，求 PC 与底面 ABCD 所成 3

17． （本小题满分 14 分） 如图 1 所示，在边长为 12 的正方形 ADD1 A1 中，点 B, C 在线段 AD 上，且 AB = 3 ，

BC = 4 ，作 BB1

AA1 ，分别交 AD1 ， AD1 于点 B1 ， P ，作 CC1 1

AA1 ，分别交 AD1 ， 1

AD1 于点 C1 ， Q ，将该正方形沿 BB1 ， CC1 折叠，使得 DD1 与 AA1 重合，构成如图 2 所示

的三棱柱 ABC − A1 B1C1 ． （Ⅰ）求证： AB ⊥ 平面 BCC1 B1 ； （Ⅱ）求四棱锥 A − BCQP 的体积； （Ⅲ） 求平面 PQA 与平面 BCA 所成锐二面

A B P A 1 角的余弦值． B1

A A1

C

Q

C1

P B C Q C1 B1

D

D1

图2

图1

（17） （本小题共 14 分） 三棱柱 ABC − A1 B1C1 中，侧棱与底面垂直， ∠ABC = 90 ， AB = BC = BB1 = 2 ， A

o

M , N 分别是 AB ， A1C 的中点．

（Ⅰ）求证： MN 平面 BCC1 B1 ； （Ⅱ）求证： MN ⊥ 平面 A1 B1C ； （Ⅲ）求二面角 M − B1C − A1 的余弦值． B

M C

N

A1 B1 C1

(17) （本小题满分 14 分） 如图，在三棱柱 ABC − A1 B1C1 中，每个侧面均为正方形， D 为底边 AB 的中点， E 为 侧棱 CC1 的中点. （Ⅰ）求证： CD ∥平面 A1 EB ； （Ⅱ）求证： AB1 ⊥ 平面 A1 EB ； （Ⅲ）求直线 B1 E 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值.

A D B C A1 C1 B1 E

17． （本小题满分 14 分） 如图， 三棱柱 ABC − A1 B1C1 中， 侧面 AA1C1C ⊥ 底面 ABC ，AA1 = A1C = AC = 2, AB = BC , 且 AB ⊥ BC ,O 为 AC 中点. （Ⅰ）证明： A1O ⊥ 平面 ABC ； （Ⅱ）求直线 A1C 与平面 A1 AB 所成角的正弦值； （Ⅲ）在 BC1 上是否存在一点 E ，使得 OE // 平面 A1 AB ，若不存在，说明理由；若存在， 确定点 E 的位置.

A1 B1 C1

A

O

B

C

16． （本小题满分 14 分） 如图，已知四棱锥 S—ABCD 的底面 ABCD 是矩形，M、N 分别是 CD、SC 的中点，SA ⊥底面 ABCD， SA=AD=1，AB= 2 ． （I）求证：MN⊥平面 ABN； （II）求二面角 A—BN—C 的余弦值．

16． （本小题满分 14 分） 如图： PD ⊥ 平面 ABCD ，四边形 ABCD 为直角梯形， AB // CD ， ∠ADC = 90 ，

o

PD = CD = 2 AD = 2 AB = 2 ，, EC = 2 PE ．

(Ⅰ) 求证： PA //平面 BDE ； （Ⅱ) 求证：平面 BDP ⊥ 平面 PBC ； (Ⅲ) 求二面角 B − PC − D 的余弦值．

P E

D

C

A 17． （本题满分 14 分）

o

B

如图，已知直三棱柱 ABC − A1 B1C1 ， ∠ACB = 90 ， E 是棱 CC1 上动点， F 是 AB 中点 ，

AC = BC = 2 ， AA1 = 4 .

（Ⅰ）求证： CF ⊥ 平面 ABB1 ； （Ⅱ）当 E 是棱 CC1 中点时，求证： CF ∥平面 AEB1 ； （Ⅲ）

在棱 CC1 上是否存在点 E ，使得二面角 A − EB1 − B 的大小是 45 ，若存在，求 CE 的长，若不存在，请 说明理由.

o

17. （本小题满分 14 分）

如图，在三棱锥 D − ABC 中, ∆ADC , ∆ACB 均为等腰直角三角形 AD = CD

= 2 ， ∠ADC = ∠ACB = 90 o , M 为线段 AB 的中点，侧面 ADC ⊥ 底面 ABC .

(Ⅰ) 求证: BC ⊥ 平面 ACD ； (Ⅱ) 求异面直线 BD 与 CM 所成角的余弦值； （Ⅲ） 求二面角 A − CD − M 的余弦值.

（16） （本小题共 14 分） 如图，在三棱锥 P-ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.

（Ⅰ）求证：PC⊥AC； （Ⅱ）求二面角 B-AP-C 的大小； （Ⅲ）求点 C 到平面 APB 的距离. （16） （本小题共 14 分） 如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB= 2 ， CE=EF=1. （Ⅰ ）求证：AF∥平面 BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面 BDE；

（Ⅲ）求二面角 A-BE-D 的大小。