题目双曲线

知识点归纳 1双曲线定义：

①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹

（PF 1-PF 2=2a

②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1) 时，这个动点的轨迹是双曲线l 叫做双曲线的准线 2： ⑴实轴长A 1A 2=2a ，虚轴长2b, 焦距F 1F 2=2⑵顶点到焦点的距离：

A 1F 1=A 2F 2=c -a ，A 1F 2=A 2F 1=a +c

⑶顶点到准线的距离：

A 1K 1=A 2K 2= a -

a a

；A 1K 2=A 2K 1= a + c c

22

⑷焦点到准线的距离：

a 2a 22a 2

F 1K 1=F 2K 2= c -

或

F 1K 2=F 2K 1=c +

c c c

⑹∆PF 1F 2中结合定义PF 1-PF 2=2a 与余弦定理cos ∠F 1PF 2，将有关线段PF 1、

PF 2、F 1F 2和角结合起来，S ∆MF 1F 2=

b 2tan

2

(其中∠F 1MF 2=θ) PF 1PF 2A 1F 1A 2F 2c =====1，+∞） ⑺离心率：

e =

PM 1PM 2A 1K 1A 2K 2a ⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b 2b 2b 2b 2

⑼通径的长是，焦准距，焦参数a c a 22其中c =a +b 1-PF 2=2a 3双曲线标准方程的两种形式：

y 2x 2

①2－2=1，c =a 2+b 2，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） a b y 2x 2

②2－2=1，c =a 2+b 2，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） a b

y 2x 2

42－2=1（a ＞0，b ＞0）

a b

⑴范围：|x |≥a ，y ∈R ⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）

⑷渐近线：

x 2y 2x 2y 2b

①若双曲线方程为2-2=1⇒渐近线方程2-2=0⇒y =±x

a a b a b

x y x 2y 2b

②若渐近线方程为y =±x ⇒±=0⇒双曲线可设为2-2=λ

a b a a b

x 2y 2x 2y 2

③若双曲线与2-2=1有公共渐近线，可设为2-2=λ（λ>0，焦点在x 轴上，

a b a b

λ

④特别地当a =b 时⇔离心率e =2⇔两渐近线互相垂直，分别为y=±x ，此时双曲

线为等轴双曲线，可设为x 2-y 2=λ；y =

b b x ，y =－x a a

2

a a 2a 2

⑸准线：l 1：x =－，l 2：x =，两准线之距为K 1K 2=2⋅

c c c

a 2

⑹焦半径：PF 1=e (x +) =ex +a ，（点P 在双曲线的右支上x ≥a ）；

c a 2

PF 2=e (-x ) =ex -a ，（点P 在双曲线的右支上x ≥a ）；

c

当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）

x 2y 2x 2y 2

⑺与双曲线2-2=1共渐近线的双曲线系方程是2-2=λ(λ≠0a b a b x 2y 2x 2y 2

-=1⑻与双曲线2-2=1共焦点的双曲线系方程是2

a b a +k b 2-k

题型讲解

例1 根据下列条件，求双曲线方程：

x 2y 2

-=1有共同的渐近线，且过点（－3，23）（1）与双曲线； 916

y 2x 2

（2）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（32，2）164

y 2x 2

分析：设双曲线方程为2－2=1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b

a b

的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程y 2x 2

解法一：（1）设双曲线的方程为2－2=1，

a b

⎧b 4=⎪⎪a 3

由题意，得

⎨ 22

⎪(-3) -=1⎪16⎩9

解得a 2=

9

，b 2=4 4

y 2x 2

所以双曲线的方程为－=1944

y 2x 2

（2）设双曲线方程为2－2=1

a b

由题意易求c

又双曲线过点（32，2），

4(32) 2

∴－=122

b a

又∵a 2+b 2=（25）2， ∴a 2=12，b 2=8

y 2x 2

故所求双曲线的方程为－=1128

y 2x 2

解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），

9161

将点（－3，2）代入得λ＝，

422

y x 所以双曲线方程为－916y 2x 2

（2）设双曲线方程为－＝1，

16-k 4+k

y 2x 2

将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为－＝1128

点评：求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用ax ±by =0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2=λ（λ≠0）例2 设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围分析：由|PM |－|PN |=2m ，得||PM |－|PN ||=2|P 的轨迹是双曲线，由点P 到x 轴、y 轴距离之比为2，知点P 的轨迹是直线，由交轨法求得点P 的坐标，进而可求得m 的取值范围

|y |

解：设点P 的坐标为（x ，y ），依题意得=2，

|x |

即y =±2x （x ≠0 ① 因此，点P （x ，y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线， 从而得 ||PM |－|PN ||0， ∴0

因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m |的双曲线上y 2x 2

故2－2

m 1-m

②

2

m 2(1-m 2)

将①代入②，并解得x =， 2

1-5m

22

∵1－m >0，∴1－5m >0

解得0

5

即m 的取值范围为（－，0）∪（0，）

55

评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力例3 已知α∈[0,π], 设讨论随α值的变化，方程x 2sin α+y2cos α=1表示的曲线形状解：(1)α=0时，两直线y=1和y= ─1;

(2)α=π/2时，两直线x=1和x=─1; (3)0

(4)α=π/4时，半径为2的圆;

(5)π/4

(2)双曲线的右焦点F 的轨迹方程;

(3)过点M ，F 的弦的另一端点Q 的轨迹方程解：(1)依题意，2a=b+c, ∴b 2=(2a─c)2 = c2─a2, 5a 2─4ac=0,

两边同除以a 2, 得e =

5; 4

(2)设双曲线的右焦点F(x,y), 由双曲线的定义，点M 到右焦点的距离与点M 到准线

的距离之比为e=

5, 4

(x -1) 2+(y -2) 25 ∴=,

41-0

∴F 的轨迹方程为(x─1)2+(y─2)2(3)设Q(x,y), 点Q 到右焦点的距离与点Q 到准线的距离之比为5/4, ∴|QF|=

5x , 4

QF 5x 5

=: = x , FM 44

x +x ⨯12x y +x ⨯22x +y ∴x 1== , y1== ,

1+x 1+x 1+x 1+x

25

代入(x1─1)2+(y1─2)2=整理得：

16

又设点F(x1,y 1), 则点F 分线段QA 的比为点Q 的轨迹方程为 9x 2─16y2+82x+64y─55=0x 2

-y 2=1, 直线l 通过其右焦点F 2，且与双曲线的右支例5 已知双曲线的方程为4

交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线的左焦点F 1连结起来，求|F1A|²|F1B|的最小值解：设A(x1,y 1),B(x2,y 2),

a 2444

A 到双曲线的左准线x= ─= ─的距离d=|x1+|=x1+，

c 5|AF 1|由双曲线的定义，=e=,

d 245

∴|AF1|=(x1+)=x 1+2,

225

x 2+2, 2

5∴|F1A|²|F1B|=(x 1+2)(x 2+2)=x 1x 2+5(x1+x2)+4 (1)

422

双曲线的右焦点为F 2(,0),

同理，|BF1|=

(1)当直线的斜率存在时设直线AB 的方程为：y=k(x─5) ，

⎧y =k (x -) ⎪由⎨x 2消去y 得 (1─4k2)x 2+8k 2x─20k2─4=0,

2

⎪-y =1⎩4

20k 2+48k 2

∴x 1+x2=, x 1x 2= ─, 22

4k -14k -1

代入(1)整理得

40k 225k 2+565k 2+5

+|F1A|²|F1B|=+4=+4 222

4k -14k -14k -1

185

65(k 2-) +

8544+4=81+= 22

44(4k -1) 4k -1

81

∴|F1A|²|F1B|>;

4

1

(2)当直线AB 垂直于x 轴时，容易算出|AF2|=|BF2|=,

2

1981

∴|AF1|=|BF1|=2a+=(双曲线的第一定义), ∴|F1A|²|F1B|=

224

由(1), (2)得：当直线AB 垂直于x 轴时|F1A|²|F1B| 例6 2416x 2－9y 2=144

（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

（2）设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|²|PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小y 2x 2

解：（1）由16x －9y =144得－=1，

916

2

2

∴a =3，b =4，c =5F 1（－5，0），F 2（5，0），离心率e =

54，渐近线方程为y =±x 33

|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2

（2）||PF 1|－|PF 2||=6，cos ∠F 1PF 2=

2|PF 1||PF 2|

(|PF 1|-|PF 2|)2+2|PF 1||PF 2|-|F 1F 2|236+64-100== =02|PF 1||PF 2|64

∴∠F 1PF 2=90例7 已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是

y 2x 2

与点P 位置无关的定值C ′：2－2=1写出具有类似特性的性质，并加以

a b

证明y 2x 2

解：类似的性质为若MN 是双曲线2－2=1上关于原点对称的两个点，点P 是双

a b

曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 设点M 的坐标为（m ，n ）， 则点N 的坐标为（－m ，－n ），

m 2n 2

其中2－2=1a b

又设点P 的坐标为（x ，y ），

y -n y +n

，k PN =， x -m x +m

y -n y +n y 2-n 2

得k PM ²k PN =²=，

x -m x +m x 2-m 2

22

22b 222b 22

将y =2x －b ，n =2m －b ，代入得 k PM ²k PN a a 由k PM =

点评：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求小结：

（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：

（1）当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；

（2）已知渐近线的方程bx ±ay =0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2=λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值λ＞0，则焦点在x 轴上，若求得λ＜0，则焦点在y 轴上2别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错

34, 注意答案的多种可能性; 擅于将几何关系与代数关系相互转化; 把平面解析几何问题转化为向量、平面几何、三角函数、定比分点公式、不等式、导数、函数、复数等问题; 注意参量的个数及转化; 养成化简整理的习惯学生练习

1动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都外切, 则动圆圆心轨迹是 ( ) A 圆 椭圆 C 双曲线 D 双曲线的一支 答案: D: 外切条件: d =r 1+r 2

x 2y 2

2已知F 1, F 2是双曲线2-2=1, (a >b >0) 的左、右焦点, 过F 1且垂直于x 轴的直线

a b

与双曲线的左支交于A 、B 两点, 若∆ABF 2是正三角形, 那么双曲线的离心率为 ( )

A 2 答案: B

C 2 D 3

x 2

-y 2=1有公共渐进线的双曲线是 ( ) 3过点(2 -2) 且与双曲线2

y 2x 2x 2y 2y 2x 2x 2y 2

-=1 B -=1 C -=1 D -=1 A 24424224

x 2

-y 2=λ, 代入求λ 答案: A: 设2x 2y 2

-=1上一点P 到它的右焦点距离是8, 那么点P 到它的右准线的距离4如果双曲线

6436

是( )

A 10 B 32327

C 27 D

57

答案: D解析: 点P 右支上x 2

-y 2=1的左、右焦点,P 、Q 为右支上的两点, 直线PQ 过F 2, 5已知F 1, F 2是双曲线2

且倾斜角为α, 则PF 1+QF 1-的值为 ( )

A 42 8 C 22 D 随α的大小变化 答案: A解析: 用双曲线定义列方程可解

6 过双曲线2x 2-y 2-2=0的右焦点作直线l 交曲线于A 、B 两点, 若AB =4则这样的

直线存在 ( )

A 0条 B 1条 C 2条 D 3条

答案: D: l ⊥x 轴时的焦点弦长AB=4最短为通径, 故交右半支弦长为4的直线恰有一条; 过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条x x y 21

7直线y =-x +5与曲线+=1的交点个数是 ( )

3925

A 0个 1个 C 2个 D 3个

答案: D : (0, 5)点为完整双曲线和椭圆的极值点, 故y=5为其切线, 当直线斜率不为0时, 直线必与每个曲线交于两点

x 2y 2

8P 为双曲线2-2=1上一点, F 1为一个焦点, 以PF 1为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2的

a b

位置关系为 ( )

A 内切 B 外切 C 内切或外切 D 无公共点或相交 答案: C: 用两圆内切或外切的条件判断

9设θ∈(0,

π

4

) , 则二次曲线x 2cot θ-y 2tan θ=1的离心率的取值范围是 ( )

A (0,

11) B (, 22

22) C (2, +∞) D (, 22

2)

答案: C : e =

tan +cot tan θ

=+cot 2θ

x 2

-y 2=1的两个焦点, 点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90 , 则设F 1, F 2是双曲线4

∆PF 1F 2的面积为 ( )

A 1

5

C 2 D 2

答案: A : 勾股定理, 双曲线定义联立方程组h 或面积公式x 2

-y 2=1的左、右焦点,P 在双曲线上, 当∆F 1PF 2的面积为111设F 1, F 2是双曲线4

时, PF 1⋅PF 2的值为( ) A 0 1 C

1

D 2 2

答案: A 解析: 不妨设x p , y p >0, 由

11

, ⋅2c ⋅y p =1∴y p =

25

22230P (, ) ∴PF 1=(--, -) , PF 2=(-, -) , ∴1⋅PF 2=0

555555

y 2x 2

－=1的渐近线方程是

493294A =±x =±x C y =±x D y =±x

2349

答案：由双曲线方程可得焦点在x 轴上，a =2，b =3y =±

b 3x =±x 2a

x 2

2，－2）且与双曲线－y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是

2

2y 22y 2x 22x 22=1 －=1 =1 －=1 4224

x 2

答案：A 解析：可设所求双曲线方程为－y 2=λ，把（2，－2）点坐标代入方程得λ=

2

－2

y 2x 2

－＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距离

6436

是

A

C

答案：D

88解析：利用双曲线的第二定义知P 到右准线的距离为=8³e 10y 2x 2

P 是双曲线2－=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2

9a

分别是双曲线的左、右焦点|PF 1|=3，则|PF 2|等于 A 或5 C D 答案：C

3

解析：由渐近线方程y =x ，且a =2，∴b =3|PF 2|－|PF 1|=4，∴|PF 22

“ab

C 充分必要条件

答案：C 解析：由ab 0，b 0由此可知a 与b 符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然x 2y 2x

2y 2若椭圆2+2=1, (a >b >0) 的离心率为, 则双曲线2-2=1的离心率为-2a b a b

: a =2b

双曲线的渐进线方程y =±

3

x , 则双曲线的离心率为________ 4

答案：

5, 4等轴双曲线的离心率为_________ : 渐进线垂直, 开口开阔与否的分界值y 2x 2

C 过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心

916

到双曲线中心的距离是____________

16

C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆3

416

C 的圆心的横坐标为4故圆心坐标为（4，±）33

答案：

A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________y 2x 2

答案：－=1（x ＞0916

y 2x 2

F 1、F 2是双曲线－=1的焦点，点P 在双曲线上P 到焦点F 1的

1620

距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上______________________________________________________ 答案：|PF 2|=17

解析：易知P 与F 1在y 轴的同侧，|PF 2|－|PF 1|=2a ，∴|PF 2|=17

y 22

A （0，2）可以作___条直线与双曲线x －＝1有且只有一个公共点4

答案：4 解析：数形结合，两切线、两交线y 22

x －=1与点P （1，2），过P 点作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若P

2

为AB 中点（1）求直线AB 的方程； （2）若Q （1，1），证明不存在以Q 为中点的弦（1）解：设过P （1，2）点的直线AB 方程为y －2=k （x －1），

2224

代入双曲线方程得（2－k ）x +（2k －4k ）x －（k －4k +6）=02k 2-4k

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1+x 2=－，

2-k 2

x 1+x 22k 2-4k

由已知=x p =1，∴2=2解得k =12k -2

又k =1时，Δ=16＞0，从而直线AB 方程为x －y +1=0

（2）证明：按同样方法求得k =2，而当k =2时，Δ＜0，所以这样的直线不存在

kx 2－y 2＝1，右焦点为F ，斜率大于0的渐近线为l ，l 与右准线交于A ，F A 与左

准线交于B ，与双曲线左支交于C ，若B 为AC 的中点，求双曲线方程 解：由题意k ＞0，c =+

准线方程为x =±1，渐近线方程l 为y =x ， k k 11，于是A （，）， kc kc kc

k (x -c ) 1+kc 21直线F A 的方程为 y =，于是B （－，）kc 1-kc 2k c (kc 2-1)

23由B 是AC 中点，则x C =2x B －x A ＝－，y C =2y B －y A

kc 将x C 、y C 代入方程kx 2－y 2＝1，得k 2c 4－10kc 2＋25＝解得k （1+1）＝5，则k ＝4k 4x 2－y 2＝1． 课前后备注

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