范文无忧网5 圆的极坐标方程
主备： 审核：
学习目标：
1. 能写出不同位置的圆的极坐标方程，已知圆的极坐标方程，能在极坐标系中画出圆的图形；
2. 会将圆的极坐标方程与圆的直角坐标方程互化. 学习重点：圆的极坐标方程的求法.
学习难点：一般形式下圆的极坐标方程的推导. 学习过程： 一、课前准备
阅读教材P 12-P 13的内容，并思考下面的问题：
1．直角坐标系中，单位圆x 2+y 2=1在极坐标系中如何表示？ 答：
2．极坐标系中，圆心在极点，半径等于2的圆，能否用方程表示？ 答：
二、新课导学： （一）新知：
1. 已知圆C 的半径为a ，圆心在不同的位置上，试求出圆的极坐标方程.
图1
设圆上的动点P 的坐标为(ρ, θ) ，
O
图2
图3
（1）图1中，动点P 不论运动到什么位置，到极点的距离始终是a ，所以圆的极坐标方程是：ρ=a .
（2）图2中，设圆与极轴交于点A ，在直角三角形O P A 中，cos θ=
ρ2a
，即
ρ=2a cos θ，即为所求圆的极坐标方程.
（3）图3中，设圆与垂直于极轴的直线交于点B ，则∠P B O =θ，在直角三角形PBO 中，sin ∠PBO =
，即ρ=2a sin θ，即为所求圆的极坐标方程. 2a
按照上面的思路，写出下面两种情况的圆的极坐标方程：
ρ
图4
图5
（4）
（5）
（二）典型例题：
【例1】已知圆心在M (a , 0) ，半径为R ，试写出圆的极坐标方程． 【解析】设圆上动点P 的坐标为(ρ, θ) ，如图 ，在∆OPM 中，|OP |=ρ，|PM |=R ，|OM |=a ，
∠P O M =θ，由余弦定理可得：
ρ+a -R cos θ=，
2a ρ
即 ρ2-2a ρcos θ+a 2-R 2=0. 即为所求圆的极坐标方程.
动动手：在圆心的极坐标为A (4, 0) ，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹. 【解析】
【例2】（1）化在直角坐标方程x +y -8y =0为极坐标方程， （2）化极坐标方程ρ=6cos(θ-
π
3
) 为直角坐标方程.
2
2
222
⎧x =ρcos θ【解析】(1)由互化公式⎨，得：
y =ρsin θ⎩
ρcos θ+ρsin θ-8ρsin θ=0，因为ρ不恒为0，所以ρ=8sin θ.
2222
(2)
动动手：(1) 化在直角坐标方程x 2+y 2+2x -4y =0为极坐标方程， （2）化极坐标方程ρ=8sin(θ-
【例3】若圆心的坐标为M (ρ0, θ0) ，圆的半径为r ，求圆的方程. 运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程.
π6
) 为直角坐标方程.
【解析】如图，设P (ρ, θ) ，
因为M (ρ0, θ0) ，所以∠POM =θ-θ0（或θ0-θ），
|PO |=ρ，|M O |=ρ0，|PM |=r ，
在∆P O M 中，由余弦定理，得
r =ρ+ρ0-2ρρ0cos(θ-θ0) ，
2
2
2
222
即所求的圆的极坐标方程为ρ+ρ0-2ρρ0cos(θ-θ0) -r =0.
这是圆的极坐标方程的一般式，它可以推得任何特殊位置的圆的极坐标方程. 三、总结提升：
θ为变量的方程；1．求曲线的极坐标方程，就是建立以ρ、类似于直角坐标系中的x 、
y . 求曲线的极坐标方程时，关键是找出动点所满足的几何条件，再运用三角运算、化简，
得出极坐标方程.
2. 将极坐标方程与直角坐标方程互化，要注意互化公式的灵活运用，要注意互化前后两
个方程的等价性.
3. 特殊位置的圆的极坐标方程比直角坐标方程简单，要会运用解三角形的方法求出圆
的极坐标方程. 四、反馈练习：
1. 圆ρ=4sin θ的圆心和半径分别是 （ ） A ．(2,0) 、2 B ．(2,
π2
) 、2 C ． (2,
π2
) 、4 D ．(2,-
π2
) 、4
2. 圆ρ=5cos θ-θ的圆心坐标是（ ）
A ．(5,
5π3
) B ．(5,
4π3
) C ．(5,
1cos θ
2π3
) D ．(5,
π
3
)
3. 曲线的极坐标方程为ρ=tan θ⋅，则曲线的直角坐标方程为 .
4. 极坐标方程分别为ρ=2cos θ与ρ=2sin θ的两个圆的圆心距为 . 5. 在极坐标系中，已知圆C 的圆心C (3,
五、学后反思：
π
6
) ，半径r =3，求圆C 的极坐标方程.