[余弦定理]教案1

《余弦定理》教案

一、教学目标

1．掌握余弦定理，理解证明余弦定理的过程；

2．使学生能初步运用它解斜三角形。

二、教学重点

余弦定理的证明，

余弦定理的应用。

三、教学方法

引导法

四、课时

1课时

五、教学过程

复习正弦定理及其证明

复习正弦定理的应用

讲解新课：

1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦b 2+c 2-a 2

即 a =b +c -2bc cos A ⇔cos A = 2bc 222

c 2+a 2-b 2

b =c +a -2ac cos B ⇔cos B = 2ca 222

a 2+b 2-c 2

c =a +b -2ab cos C ⇔cos C = 2ab 222

推导过程：

如图在∆ABC 中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b B ∵=+ ∴∙=(+) ∙(+) =+2∙+

=+2||∙||cos(180-B ) + 2 222A

=c 2-2ac cos B +a 2

即b 2=c 2+a 2-2ac cos B

同理可证 a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，c 2=a 2+b 2-2ab cos C

方法2：以顶点A 为原点，射线AC 为x 轴正半轴建立直角坐标系

。

由两点的距离公式有：

两边平方，得

同理可证另两式

2、正弦定理、余弦定理与射影定理：

O 为ΔABC 的外接圆圆心，皆得 sin∠BAC ＝sin （90－∠OBC ）＝cos ∠OBC 。

B B C C o

CO cos ∠（A2）在ΔOBC 中，利用余弦定理：BC ＝BO ＋CO －2BO CO cos ∠BOC ＝4R cos ∠OBC 22222∵ ∠OBC 必为锐角 ∴ BC ＝2Rcos ∠OBC

由上可知：在ΔABC 中，BC a 2R cos ∠OBC ＝＝＝2R sin A sin ∠BAC cos ∠OBC

同理：b c ＝2R ；＝2R sin B sin C

故可利用射影定理或余弦定理证得正弦定理。

b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2

另：先將余弦定理转化如右：cosA ＝ ；cosB ＝ ； 2bc 2ac

a 2+b 2-c 2cosC ＝ 2ab

a 2+c 2-b 22a 2a 2+b 2-c 2

整理b cosC＋c cosB＝b ×＋c ×＝＝a 2ab 2ac 2a