范文无忧网高三第一轮复习之函数的性质
一、函数的性质归纳
1、单调性：
（1）如果函数y =f (x ) 在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x ) 在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x ) 的单调区间。
（2）简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：
增函数f (x ) +增函数g (x ) 是增函数；减函数f (x ) +减函数g (x ) 是减函数；
增函数f (x ) -减函数g (x ) 是增函数；减函数f (x ) -增函数g (x ) 是减函数。
例1：已知f (x ) 在区间(－∞，＋∞) 上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．f (a ) ＋f (b ) ≤－f (a ) ＋f (b ) ］ B ．f (a ) ＋f (b ) ≤f (－a ) ＋f (－b )
C ．f (a ) ＋f (b ) ≥－f (a ) ＋f (b ) ］ D ．f (a ) ＋f (b ) ≥f (－a ) ＋f (－b )
例2：f (x ) 是定义在( 0，＋∞) 上的增函数，且f (
（1）求f (1)的值．
（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (
例3：设函数f (x )=x 2+1－ax ，(a ＞0) ，试确定：当a 取什么值时，函数f (x ) 在0，＋∞)
上为单调函数．
2、奇偶性：
（1）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函
数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；
②设f (x ) ，g (x ) 的定义域分别是D 1, D 2，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇
（2）关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 x ) = f (x ) －f (y ) y 1) ＜2 ． x
命题1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条
件。
命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。
命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶函
数。
命题5 函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。
命题6 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。
命题7 已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根
之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。
(x +1) 2+sin x 例1：函数f (x ) =的最大值和最小值分别为M , m ，则x 2+1
M +m =__________．
例2:已知a , b 为正实数，函数f (x ) =ax 3+bx +2x 在[0,1]上的最大值为4，则f (x ) 在[-1,0]上
的最小值为 ．
例3：若-π
2≤α≤π
2n +m =0，，0≤β≤π，m ∈R ，如果有α3+s i α
(π
2-β) 3+cos β+m =0，则cos(α+β) 值为（ ）．
A . -1 B . 0 C . 1 D . 1 2
1⎧5(x +4) 3=-4⎪(x +4) +2013例4：设x , y ∈R ，且满足⎨，则x +y = ． 1⎪(y -1) 5+2013(y -1) 3=4⎩
例5：已知f (x ) =x +ax +bx -8且f (-2) =10，那么f (2) =___________;
3、周期性: 53
（1）周期函数分类
1. 常值函数y =a 是周期函数，无最小正周期。当a ≠0时是偶函数，当a =0时是既奇又
偶函数。
2. 三角函数及其复合函数：
（1）y =A sin(ωx +ϕ) 、y =A cos(ωx +ϕ) 的最小正周期T =2π。 |ω|
ωx +ϕ) 、y =A cot(ωx +ϕ) 的最小正周期T =（2）y =A tan(π。 |ω|
3. 三角函数的变换函数：如y =|sin x |、y =|cos x |，最小正周期为π；
如y =|tan x |、y =|cot x |，最小正周期为π。
4. 自定义周期函数：如y =|x |，x ∈[-1,1]，周期为2
（2）根据函数的特征方程判断
1．若f (x ) =f (x +T ) ，则函数f (x ) 是周期函数，T 是它的一个周期。
2．若f (cx +a ) =f (cx +b )(a ≠b ) ，则函数 f (x ) 是周期函数，b -a 是它的一个周期。
3．若f (x +a ) =-f (x ) ，则函数f (x ) 是周期函数， 2a 是它的一个周期。
4．若f (x +a ) =k (k ≠0) ，则函数f (x ) 是周期函数，2a 是它的一个周期。 f (x )
k (k ≠0) ，则函数f (x ) 是周期函数，2a 是它的一个周期。 f (x ) 5．若f (x +a ) =-
例1：设f (x ) 是定义在R 上的奇函数，f (x +4) =－f (x ) 且f (3)=5，则
f (－21=) ______________，f (2005)=______________
例2：设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且满足f (x +2) =1，当0≤x ≤1，f (x ) =2x ，f (x )
则f (7.5)=______________
例3：设f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且f (x -2) =f (x +2) ， f (1)=2，则
f (2) +f (7=) ______________
例4：函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x +2)=1，若f (1)=-5, 则f x f (f (5))=_______________
例5：(2009年山东卷) 已知定义在R 上的奇函数f (x ) ，满足f (x －4) ＝－f (x ) ，且在区间[0,2]
上是增函数，若方程f (x ) ＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋
x 2＋x 3＋x 4＝________.
4、对称性:
①关于点(a,b)对称；
f(a+x)+f(a-x)=2b,或写成：f(x)+f(2a-x)=2b
②关于直线对称
f(a+x)=f(a-x),f (x ) =f (2a -x ) 则函数关于x=a对称；
a +b 对称； 2
③奇偶性、周期性、对称性之间的关系
1. 函数f (x ) 是奇函数
T T （1）当函数周期为T ，则一定有对称中心(, 0) ，不一定有对称轴；如果有，则x =是24f(a+x)=f(b-x)，则函数关于x=
一条对称轴；
（2）如果对称中心为(a ,0)(a ≠0) ，则2a 是一个周期；如果对称轴为x =a (a ≠0) ，则4a
是一个周期。
2. 函数f (x ) 是偶函数
（1）当函数周期为T ，则一定有对称轴x =T T ，不一定有对称中心；如果有，则(, 0) 是24
一个对称中心；
（2）如果对称中心为(a ,0)(a ≠0) ，则4a 是一个周期；如果对称轴为x =a (a ≠0) ，则2a
是一个周期。
3．四种相似形式
（1）f (x ) =f (x +2a ) ⇔T =2a
（2）f (x ) =f (-x +2a ) ⇔对称轴x =a
（3）f (x ) =-f (x +2a ) ⇔T =4a
（4）f (x ) =-f (-x +2a ) ⇔对称中心(a , 0)
例1:设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，并且对任意的x ∈R ，都有f (1+x ) =f (1-x ) ，
当x ∈[0, 1]时，f (x ) =2x +1.(1) 当x ∈[3, 5]时，求f (x ) 的解析式；(2) 比较f (1. 5) 与
f (12. 2) 的大小.
例2:已知函数f (x ) 为定义在R 上的奇函数，且y =f (x ) 的图像关于x =1对称，则2
f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (5) =______________。
例3、设f (x )是定义在R 上的函数，它具有奇偶性，且f (2+x )=f (2-x )，周期为T 。则：（1）当f (x )是奇函数时，T =________；（2）当f (x )为偶函数时，T =________。
⎧f (x )+f (-x )=0例4、设定义域为R 的函数f (x )满足⎨，则f (x )=0在[-8, 8]上解的个数至少()()f x -2=f x +2⎩
是________。
例5、设y =f (x ) 为R 上的奇函数，且对于x ∈R 都有f (x +2) =-f (x ) 。（1）证明：f (x )
为周期函数；（2）证明：x =1为对称轴；（3）若当-1≤x ≤1时，f (x ) =sin x ，写出1≤x ≤5
时，f (x ) 的解析式；（4）对于（3）中的f (x ) ，若A =x f (x ) >a
取值范围。
{}非空，求实数a 的
例6、定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +3)=f (3-x )，在区间[-3, 0]上递减，设a =f (-1. 5)，b =f 2)，c =f (4)，则（ ） （A ）b 例7、已知定义在R 上的函数f (x ) 满足①f (x +4) =f (x ) ；②对0≤x 1
f (x 1)
A. f (4. 5)
C. f (7)
例8. 已知函数f (x ) 是定义在R 上以3为周期的奇函数，若f (1)〉1，f (2)=
的取值范围是_________.
例9. 已知定义在2a -3，则a a +1
R 上的函数f (x ) 为奇函数，且f (3x +1) 的周期为3，若f (1) =5，则f (2007)+
f (2008)的值为______。
例10.
已知偶函数y =f (x )(x ∈R ) 满足f (x ) =f (2-x ) ，且当x ∈(-1,1]时，f (x ) =x 2，则函数y =f (x )
与y =log 7x 的图像交点个数为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
例11. 已知函数
f (x ) =A sin 2(ωx +ϕ)(A 〉0) 的最大值为2，其中相邻两对称轴间的距离为2，则
f (1) +f (2) + +f (100) =_____。
例12. 定义在R 上的函数f (x ) 图像关于点 -⎛3⎫, 0⎪对称且满足4⎝⎭
3f (x ) =-f (x +), f (-1) =1, f (0) 2
=-2，则f (1) +f (2) + +f (2005) 的值为（ ）
A. -2 B. -1 C.0 D.1
例13. 定义在
⎧log (1-x ) R 上的函数f (x ) 满足：f (x ) =⎨2
⎩f (x -1) -f (x -2)
例14、(x ≤0) ，则f (2009) =____。 (x 〉0)
设函数f (x )(x ∈R ) 为奇函数，f (1) =
A.0 B.1 C.
例15、1, f (x +2) =f (x ) +f (2), 则f (5) 等于( ) 25 D.5 2
二次函数满足f (x +1) -f (x ) =2x ，且f (0) =1，则f (x ) =_________________。
例16. 已知函数y =f (x ) 满足f (x ) +f (-x ) =2002，求f -1(x ) +f -1(2002-x ) 的值。
5、零点：
定义：函数图像与x 轴的交点叫做零点；所以遇到此类型题一般转化为方程或数形结合问题；
x (x ≤0) ⎧⎪2例1、设函数f (x ) =⎨ ，函数y =f [f (x ) ]-1的零点个数为 个． (x >0) ⎪⎩log 2x
例2. 设a 为非零实数，偶函数f (x ) =x 2+a x -m +1(x ∈R ) 在区间(2,3)上存在唯一零点，则实数a 的取值范围是 .
例3. 若函数f (x ) =log 2(x +) -a 在区间⎢, 2⎥内有零点，则实数a 的取值范围是___． x 21⎡1⎤⎣⎦
例4. 设定义在R 上的函数f (x ) 是最小正周期为2π的偶函数，当x ∈[0, π]时，0
在[-10π, 10π]上的零点个数为 ．
⎧log 2x (x >0) 例5. 已知函数f (x ) =⎨x ，且函数F (x ) =f (x ) +x -a (x ≤0) 3⎩
有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．
6、反函数；
⑴定义：只有满足x ←−−→y ，函数y =f (x ) 才有反函数. 例如：y =x 2无反函数. 函数唯一
y =f (x ) 的反函数记为x =f -1(y ) ，习惯上记为y =f -1(x ) .
注意：
⑴单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的. 因此，所有偶函数不存在反函数.
⑵如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.
⑶设函数y = f（x ）定义域，值域分别为X 、Y . 如果y = f（x ）在X 上是增（减）函数，那么反函数y =
数增减性相同. ⑷一般地，如果函数y =f (x ) 有反函数，且f (a ) =b ，那么f -1(b ) =a f -1(x ) 在Y 上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函-1例1：已知函数f (x ) =a x (a >0且a ≠1) 满足f (2)>f (3)，若y =f -1(x ) 是y =f (x ) 的反函 数，则关于x 的不等式f -11(1-) >1的解集________________; x 例2：设
互为反函数，求
有反函数 ，且函数 的值． 与
例3： 若函数
的值.
例4、已知函数
与函数 互为反函数，求 , ,求 的反函数.
例5. 【2010年二模长宁第18题】如果函数f (x ) =|lg |2x -1||在定义域的某个子区间
(k -1, k +1) 上不存在反函数，则k 的取值范围是 （ ）
3113A .[-, 2) B .(1, ] C .[-1, 2) D .(-1, -]⋃[, 2) 2222
例6．函数f (x ) =x 2-2ax +1，（x ∈[0, 1] [3, 4]），若此函数存在反函数，则实数a 的取值范围是 .
例7. 已知定义在R 上的函数y =f (x ), 存在反函数f -1(x ), 若函数f (x +1) 的反函数为f -1(x -1), 且f (0) =1, 则f (12) =________.
二、作业
见附录1、2