范文无忧网课时45：利用导数求函数的最值
教学目标：
1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f (x ) 在闭区间[a ，b ]上所有点（包括端点a ，b ）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤．
教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学难点：最值与极值的区别
教学过程：
一、课前预习
x 321．函数f (x ) ＝x －3x －4在[0，2]上的最小值是___ ____. 3
2．若函数f (x ) =2x 3-6x 2+m 在[-2, 2]上有最大值3，则此函数在[-2, 2]上最小值是 ；
3．函数f (x ) =x -e x 在区间[0, 1]上的最小值为；
4．函数f (x ) =2x 3-3x 2-12x +5在[0, 3]上的最大值是；
二、建构数学
1．函数的最大值和最小值．
观察图中一个定义在闭区间[a , b ]上的函数f (x ) 的图象．图中f (x 1) 与f (x 3) 是极小值，f (x 2) 是极大值．函数f (x ) 在[a , b ]上的最大值是f (b ) ，最小值是f (x 3) ．
一般地，在闭区间[a , b ]上连续的函数f (x ) 在[a , b ]上必有最大值与最小值． 说明：
（1）在开区间(a , b ) 内连续的函数f (x ) 不一定有最大值与最小值．如函数1在(0, +∞) 内连续，但没有最大值与最小值； x
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的； f (x ) =
（3）函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，是f (x ) 在闭区间[a , b ]上有最大值与
最小值的充分条件而非必要条件；
(4) 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．
2．利用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f (x ) 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，则求f (x ) 在[a , b ]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f (x ) 在(a , b ) 内的极值；
（2）将f (x ) 的各极值与f (a ) 、f (b ) 比较得出函数f (x ) 在[a , b ]上的最值．
三、数学运用
ln x 例1．已知函数y ＝f (x ) ＝x .
1(1)求函数y ＝f (x ) 的图象在x ＝e 处的切线方程；
(2)求函数y ＝f (x ) 的最大值．
例2．已知函数f (x ) =ln x -ax (a ∈R ) 。
（1）求函数f (x ) 的单调区间；
（2）当a >0时，求函数f (x ) 在[1, 2]上的最小值。