函数的零点

2.4.1 函数的零点 教案

教学目标：

1、知识目标：理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系 .

2、能力目标：体验函数零点概念的形成过程，引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力.

3、情感目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想. 重点、难点：

教学过程：

一．自主达标

1．如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在实数处的值等于零，即ｆ（ｘ）＝０，则ｘ叫做 ． ２．把一个函数的图像与 叫做这个函数的零点．

３．二次函数ｙ＝ａx 2＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０），当

Δ＝b 2－４ａｃ＞０时，二次函数有

Δ＝b 2－４ａｃ＝０时，二次函数有 个零点；

Δ＝b 2－４ａｃ＜０时，二次函数有

４．二次函数零点的性质：

（１）二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），

．

（２）在相邻的两个零点之间所有 ．

二。典例解析

例１．若函数ｆ（ｘ）＝x 2＋ａｘ＋ｂ的两个零点是２和－４，求ａ，ｂ的值． 例1、解：函数ｆ（ｘ）＝x 2＋ａｘ＋ｂ的两个零点是２和－４，也就是方程x 2＋ａｘ＋ｂ＝０的两个根是２和－４，由根与系数的关系可知⎨

８．

评析：反常的根与函数零点的关系以及反常的根与系数的关系是本体解决关键． 例２．求证：方程５x －７ｘ－１＝０的一个根在（－１，０）上，另一个根在（１，２）上．

例2、证明：设ｆ（ｘ）＝５x －７ｘ－１，则ｆ（－１）ｆ（０）＝－１１＜０，ｆ（１）（２）＝－１５＜０．而二次函数ｆ（ｘ）＝５x －７ｘ－１是连续的．所以，ｆ（ｘ）在（－１，０）和（１，２）上分别有零点．

即方程５x －７ｘ－１＝０的根一个在（－１，０）上，另一个（１，２）在上． 2222⎧2+(-4) =-a 得ａ＝２，ｂ＝－2⨯(-4) =b ⎩

评析：判断函数是否在（ａ，ｂ）上存在零点，除验证ｆ（ａ）∙ｆ（ｂ）＜０是否成立外，还需考察函数是否在（ａ，ｂ）上连续．若判断根的个数问题，还须结合函数的单调性．

例３：学校请了３０名木工，要制作２００把椅子和１００张桌子．已知制作一张桌子与制作一把椅子的工时数之比为１０：７，问３０名工人应当如何分组（一组制桌子，另一组制椅子），能使完成全部任务最快？

例3、解：设名ｘ工人制桌子，（３０－ｘ）名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制７张桌子或１０把椅子，所以 制作１００张桌子所需时间为函数ｐ（ｘ）＝100，制作２００把椅子所需时间为函数7x

ｑ（ｘ）＝200，完成全部任务所需时间为ｙ（ｘ）＝ｍａｘ｛ｐ（ｘ），ｑ（ｘ）｝． 10(30-x )

100200＝，解得ｘ＝１２．５，考虑到人数x ∈N +，考察ｐ（１２）与ｑ（１7x 10(30-x )

３），ｐ（１２）＝10020≈１．１８，即ｙ（１２）＞ｙ（１≈１．１９，ｑ（１３）＝8417

３）．所以用１３名工人制作桌子，１７名工人制作椅子完成任务最快．

评析：对于本题要用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点来解，则可使应用问题化生为熟，尽快得到解决．

三、达标练习：

１．已知函数ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上单调且ｆ（ａ）ｆ（ｂ）＜０，则函数ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上（ ）

Ａ．至少有一个零点 Ｂ．至多有一个零点 Ｃ．没有零点 Ｄ．必有唯一零点

２．已知ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）－２并且α，β是函数ｆ（ｘ）的两个零点，则实数ａ，ｂ，α，β的大小关系可能是（ ）

Ａ．ａ＜α＜ｂ＜β Ｂ．ａ＜α＜β＜ｂ Ｃ．Α＜ａ＜ｂ＜β

Ｄ．ａ＜ａ＜β＜ｂ

⎧2x -2(x ≥1) ３．函数ｆ（ｘ）＝⎨2，则函数ｆ（ｘ）－０．２５的零点 x -2x (x

．

2４．如果函数f （x ）=x +ｍx ＋（ｍ＋３）至多有一个零点，则ｍ的取值范

围 ．

５．对于函数ｆ（ｘ）；若存在x 0∈Ｒ，使ｆ（x 0）＝x 0成立，则称x 0为ｆ（ｘ）的不动点．已知函数f （x ）=ax +（b ＋１）x ＋（ｂ－１）（ａ≠０）．

（１）当ａ＝１，ｂ＝－２时，求函数ｆ（ｘ）的不动点；

（２）若对任意实数ｂ，函数ｆ（ｘ）恒有两个相异的不动点，求ａ的取值范围． 2

参考答案：

１．Ｄ ２．Ｃ ３．, 94-5 ４．-2≤m ≤6 82

５．（１）当ａ＝１，ｂ＝－２时，ｆ（ｘ）＝x 2－ｘ－３，由题意可知ｘ＝x 2－ｘ－３

解得ｘ＝－１或ｘ＝３，故当ａ＝１，ｂ＝－２时ｆ（ｘ）的两个相异的不动点为－１，３．

（２） f （x ）=ax 2+（b ＋１）x ＋（ｂ－１）恒有两个相异的不动点．

∴ｘ＝a x 2+（b ＋１）x ＋（ｂ－１），即ａx 2＋ｂｘ＋（ｂ－１）＝０恒有两个相异的实数根，得Δ＝b 2-4a (b -1) >0(b ∈R ) 恒成立，即b -4ab +4a >0(b ∈R ) 恒成立，于是2

∆

＝161a 2-16a