浅议弹簧双振子的简谐运动

张明春[1**********]

弹簧双振子是高中物理重要的物理模型之一，在学习动量守恒定律和机械能守恒定律时，教师一般会引导学生分析弹簧双振子的运动，将其与完全弹性碰撞对比分析，使学生更深刻的理解完全弹性碰撞的作用过程中各物理量的变化规律。

弹簧双振子在特定条件下的简谐运动，是该物理模型的另一种典型运动形式。教师引导学生对同一模型的多种不同运动规律的分析与研究，有利于培养学生发散思维，提高学生的分析能力和综合能力。

笔者通过下面示例说明弹簧双振子的简谐运动。

示例：质量分别为m 1、m 2的两个滑块，中间用一个劲度系数为k 、原长为L 0的轻弹簧相连接。将弹簧压缩至长度为L （在弹性限度内），并用细线将两滑块拉住，放在光滑的水平面上，系统处于静止状态，如图所示。某时

刻将细线烧断，试证明：m 1、m 2在光滑的水平面上做频率相等、振幅不等的简谐运动，并求出m 1、m 2做简谐运

动的振幅。

证明：烧断细线后，弹簧双振子系统在水平方向动量守恒，设水平向左的方向为正方向，任意时刻m 1、m 2的速度分别为v 1、v 2，由动量守恒定律可得，

m 1 v1 - m2 v2=0-------⑴

因此，任意时刻系统的总动量等于零。

即，弹簧恢复到原长时，m 1、m 2同时经过平衡位置，速度均达到最大；弹簧伸长到最长或压缩到最短时，m 1、m 2同时到达最大位移处，速度均减小到零。因此，m 1、m 2 做频率相等的机械振动。

设m 1、m 2做机械振动的振幅分别为A 1、A 2，在∆t 时间内的平均速度分别为V 1、V 2, 位移分别为S 1、S 2，由⑴式可得，

m 1V 1=m 2V 2---------⑵

将⑵式两边乘以∆t 得，

m 1V 1∆t =m 2V 2∆t -----------⑶

因为S 1=V 1∆t , S 2=V 2∆t ------------⑷

所以由⑶、⑷式可得：m 1S 1=m 2S 2----------⑸

当∆t 为烧断细线到弹簧第一次恢复到原长的时间（或选取其它的由平衡位置到最大位移处的过程为研究过程），有

S 1=A 1、S 2=A 2，S 1+S 2=L 0-L -----------⑹

由⑸⑹式可知，m 1、m 2做机械振动的振幅分别为

A 1=m 2(L 0-L )m 1+m 2、A 2=m 1(L 0-L )m 1+m 2。

若m 1、m 2经平衡位置开始计时，经过∆t 的时间相对各自平衡位置的位移分别为X 1、X 2，由上面的证明过程可知：

m 1X 1=m 2X 2-------------⑺

假设弹簧处于伸长状态，则弹簧的伸长量为

∆X =X 1+X 2--------------⑻

此时，由胡克定律可知m 1受到的回复力为

F 1=-k ∆X --------------⑼

由⑺⑻⑼式可得

F 1=-k (m 1+m 2)m 2X 1

即，m 1受到的回复力与其位移正比反向，故m 1做简谐运动。同理可证：m 2也作简谐运动。因此，m 1、m 2做频率相等、振幅不等的简谐运动。

如果m 1、m 2是两个带有等量异种电荷的滑块，静止在光滑的水平面上，弹簧为自然长度。某时刻突然加上水平方向的匀强电场，滑块在电场力和弹簧弹力的共同作用下（滑块间的库仑力可忽略不计），在光滑水平上也要做频率相等、振幅不等的简谐运动。

教师通过引导学生探究关于弹簧双振子的多种运动形式，可以更深刻地理解不同形式下的物理规律，使得弹簧双振子模型在高中物理教学中发挥更大的作用。