向量数量积最值问题.三角形中的向量问题

平面向量数量积最值问题

近几年, 平面向量数量积的最值问题频频出现在各地的高考卷上, 成为高考中的一个热点问题, 现以几例具体阐述此类问题的解决途径. 一、借助基本的向量运算降低问题难度；二、建立直角坐标系降低问题门槛

例1:在∆ABC 中, O 为中线AM 上一个动点, 若AM =2, 则OA ⋅(OB +OC ) 的最小值是__________.

分析:(如图) 本题的突破口关键在于AM 为∆ABC 的中线, 故易知

OB +OC =2OM , 所以:OA ⋅(OB +OC ) =OA ⋅(2OM ) =2(OA ⋅OM )

从而把不共线向量数量积的问题转化为共线向量数量积的问题.

练习:1、如图, 已知等边∆ABC 的边长为2, 又以A 为圆心, 半径为1作圆, PQ 是直径, 试求

BP ⋅CQ 的最大值, 并指明此时四边形BCQP 的形状.

答案:BP ⋅CQ 的最大值为3, 此时四边形BCQP 为矩形.

例2:在Rt ∆ABC 中, BC =a , 若长为2a 的线段PQ 以A 点为中点, 问PQ 与

BC 的夹角θ取何值时BP ⋅CQ 的值最大? 并求出这个最大值.

巩固练习：

练习：在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足 BM CN =，则AM ⋅AN 的取值范围是

BC CD

2、已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC, ∠ADC =90,AD=2,BC=1,P是腰DC 上的动点, 则|PA +3PB |的最小值

为 .

三角形背景下的向量问题

在三角形的背景下，考查平面向量知识成为近几年高考的一个热点．

判断三角形的形状

一般要从角或边两个角度来分析：

从角的角度，主要是分析三角形是锐角，直角还是钝角三角形．设三角形中最大角是A ，则三角形是

直角三角形⇔AB AC =0；三角形是锐角三角形⇔AB AC >0；三角形是钝角三角形⇔AB AC

从边的角度，主要是分析三形是等腰还是等边三角形．判断边长是否相等，一是可以通过比较边所对应向量的模；二是可通过几何性质转化，比如若三角形的中线垂直于这条边，则三角形是等腰三角形．

例1 在ΔABC 中, AB =a , BC =b , 且a b

A. 锐角三角形

C. 钝角三角形

B. 直角三角形 D. 形状不确定 ()

练习、O 是∆ABC 所在平面内一点，且满足OB -OC ⋅OB +OC -2OA =0，则∆ABC 的形状()()

是（ ）

A 正三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 斜三角形

三角形 “心” 的判断

三角形的“心”常指内心、外心、重心、垂心、中心等．内心是内切圆的圆心，是角平分线的交点；外心是外接圆的圆心，是中垂线的交点；重心是中线的交点；垂心是高线的交点；中心为正三角形所特有，是多心合一的一个点．解题时，要抓住这些特点，结合向量的知识加以分析．

＋OB ＋OC ＝0，则O 是∆ABC 例３ 已知A 、B 、C 是不共线的三点, O 是∆ABC 内的一点，若OA

的( )

A 外心 B 垂心 C内心 D.重心

例４ O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足

A B A C +λ() λ⋅∈[0, +∞). P 的轨迹一定通过△ABC 的 O P =O A 则|A B ||A C |

A ．外心

B ．内心 C ．重心 D ．垂心 （ ）

例5 已知O 为∆ABC 所在平面内的一点，且满足|OA |2+|BC |2=|OB |2+|CA |2=|OC |2+|AB |2，求证：点O 是∆ABC 的垂心．

巩固练习

2 1．已知∆ABC 满足AB =AB ⋅AC +BA ⋅BC +CA ⋅CB ，则∆ABC 的形状是（ ）

2．平面内有OP +OQ +OR =0, 且OP ⋅OQ =OQ ⋅OR =OR ⋅OP , 则∆PQR 一定是

( )

A ．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形

3．在∆ABC 中，|BC |GA +|AC |GB +|AB |GC =0，其中G 为∆ABC 的重心，则∆ABC 的形状是_______

正三角形_______． A 等边三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形 AB AC 4．已知非零向量AB 与AC 满足(+). BC =0且AB AC

（A ）三边均不相等的三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰非等边三角形 （D ）等边三角形 AB AB AC 1. =. 则∆ABC 为（ D ） AC 2