高考数学解三角形测试专题(含答案)

专题考案 解三角形

(时间：90分钟 满分：100分)

一、选择题(9³3′＝27′)

1．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >

1

”的 ( ) 2

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

2．已知△ABC 中，a =x , b =2，∠B ＝45°，若这个三角形有两解，则的取值范围是 ( ) A. x >2 B. x

3．有分别满足下列条件的两个三角形：①∠B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②∠B ＝60°，a =10,b =9，那么下面判断正确的是 ( ) A. ①只有一解，②也只有一解 B. ①、②都有两解

C. ①有两解，②有一解 D. ①只有一解，②有两解 4．在△ABC 中，∠B =45°，∠C 所对的边c =22, ∠B 所对的边b =A.60° B.75° C.15°或75° D.75°或105°

5．在△ABC 中，如果4sin A +2cosB =1,2sinB +4cosA =3, 则sin C 的大小是 ( ) A.

4，则∠A 等于( ) 3

33111

B. C. 或 D.-

22222

6．在△ABC 中，若sin3A ＝sin3B , 则A 、B 的关系是 ( )

π

3

2πππ

C. A ＝B 或A +B ＝ D. A +B ＝或|A-B|=或A =B

333

A. A ＝B B. A +B ＝

7．在△ABC 中，||∙+||∙+||∙=0，其中G 是三角形的重心，则△ABC 的形状是 ( )

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形

8．在△ABC 中，面积S ＝a 2-(b -c ) 2，则sin A 等于 ( ) A.

1315813

B. C. D.

15171717

9．在△ABC 中，周长2P ＝7.5cm, 且sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，则下列式子中成立的个数为 ( )

①a ∶b ∶c ＝4∶5∶6 ②a ∶b ∶c ＝2∶∶6 ③a ＝2cm, b =2.5cm,c ＝3cm ④A ∶B ∶C ＝4∶5∶6 A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题(4³4′＝16′)

10．等腰三角形的两边长为9，14，则底角的余弦值为.

11．已知平面上三点A 、B 、C 满足||=3,||=4,||=5,则²+²+²的值等于 .

12．△ABC 中，已知(sinA +sinB +sinC )(sinA ＋sin B -sin C ) ＝3sin A sin B ，则A +B ＝. 13．△ABC 中, 角A 、B 均为锐角，且cos A >sinB , 则△ABC 是三、解答题(10′＋11′＋12′³2＝45′) 14．已知在三角形ABC 中，tan A =

求：(1)角C 的大小； (2)最短边的长.

23

,tan B =, 且最长边为2. 57

a 2-b 2sin(A -B )

=. 15．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，证明：2

sin C c

cot B c

, 求A 、B 、C . =

cot C 2a -c

3

17．在△ABC 中，C =2A , a +c =10,cosA =，求b .

4

16．在△ABC 中, 若a =(3-1) c , 且

四、思考与讨论(12′)

18．已知P 为正方形ABCD 内一点，且PA ∶PB ∶PC =1∶2∶3，求∠APB 的度数.

参考答案

1．B 由A >30°推不出sin A >必要非充分条件.

2．C 如图，必有b

11

, 但若sin A >, 在［0,2π］周期内有A >30°，可推出结论，∴是22

sin C sin B =, 得sin C =，又c >b ，∴C >B ． c b 2

∴∠B =60°或120°，∴∠A =15°或75°.

5．A 把4sin A +2cosB =1和2sin B +4cosA =33两式分别平方后相加得16+4+16(sinA cos B

11

, ∴sin C =, 选A. 223333

6．D sin3A -sin3B =2cos(A +B )sin (A -B )=0，∴cos (A +B )=0或sin (A -B )=0.

2222

3333333π3π又0

[1**********]

或|A -B |=π或A =B .

2

+cosA sin B )=28,即sin(A +B )=

7．D ∵G 是△ABC 的重心, ∴++=0, 即=-- ① 又由已知得GC =∙GA -

GB ②

∵CA , GB , GC 均为非零向量, ∴GC 由GA , GB 的表示是惟一的.

⎧=-1, ⎪-

⎪故由①②可得⎨∴|AB |=|BC |=|AC |. ∴△ABC 为等边三角形，故选D 项.

⎪=-1. ⎪-

⎩11

8．B S =a 2-(b -c ) 2=bc sin A ⇒a 2=b 2+c 2-2bc +bc sin A =b 2+c 2-2bc cos A

221

⇒2-2cos A =sin A ⇒sin 2A +cos2A =(4-4cosA ) 2+cos2A =1

2

15

⇒17cos 2A -32cos A +15=0⇒cos A =(0

17

45

9．C 由正弦定理得a ∶b ∶c =4∶5∶6∴a =³7.5=2cm,b =³7.5=2.5cm，

1515

6

c =³7.5=3cm.①③正确

. 15

9

9779

10．或 腰长为9时，底角α的余弦值cos α=, 腰长为14时，cos α=2=.

14289928

11．-25 由已知可知A 、B 、C 恰为其一直角三角形的三顶点，知AB

⊥BC ，∙+∙+∙=-(∙+∙)

43

=-(|CB ||CA |cos C +|AB |∙|AC |²cos A )=-(5³4³+3³5³)

55

=-25.

12．120° 由正弦定理得(a +b +c )(a +b -c )=3ab ⇒c 2=a 2+b 2-ab , ∴cos C =13．钝角三角形 由cos A >sinB ⇒sin(

∴

1

, C =60°. 2

ππ

-A )>sinB . 又y =sinx 在(0,) 上为增函数. 22

πππ

-A >B , 即A +B . 222

23

+

tan A +tan B 57=-1. =-14．解 （1）∵A 、B 、C 为△ABC 三内角，∴tan C =-tan(A +B )=-231-tan B tan A

1-∙57

又0°

2292

及诱导公式得sin A =.

295

又sin C =

a 22429

=, 故由正弦定理得. 解得a =.

229222

292

sin 2A -sin 2B sin(A -B )

=. 15．证明 根据正弦定理知，要证的等式等价于

sin C sin 2C

约去sin C , 并注意到sin C ＝sin(A +B ), 即要证:

sin 2Ａ-sin 2B ＝sin(A +B )sin(A -B ) ，即证sin 2A -sin 2B =sin2A cos 2B -cos 2Ａsin 2Ｂ， 即证sin 2Ａ(1-cos2Ｂ) ＝sin 2B (1-cos2Ａ) ，亦即证sin 2A sin 2B ＝sin 2B sin 2A .

a 2-b 2sin(A -B )

上式成立，故成立.

sin C c 2

16．解 由正弦定理有

cos B sin C sin C ∙=, ∴(2sinA -sin C )cos B =sinB cosC sin B cos C 2sin A -sin C

∴2sin A cos B =sin(B +C ), 又sin(B +C )=sinA .

12π

, B =, A +C =π. ① 233

A +C A -C 2sin cos

a

sin A sin A +sin C 22=3. +1=3, ∴=, 又∵=3-1, ∴c sin C sin C sin C

∴cos B =

A -C 3A -C π

=, ∴cos =sinC =cos(-C). 2222

由于A 、C 都是三角形的内角. C -A π∴=-C , ∴3C -A =π ②

22

5ππ

由①②得C =π, A =, B =.

1243

点评 在三角形中作三角变换，我们通常在利用正、余弦定理进行边角关系互化的同时，也还常常需要利用和差化积公式等进行三角恒等变换.

c sin C sin 2A c 3

17．解 由正弦定理===2cos A . ∴=. 又a +c =10,∴a =4,c =6.

a sin A sin A a 2

b 2+203222

=. ∴b =4或5． 由余弦定理a =b +c -2bc cos A , 得

12b 4

当b =4时，a =4,∴A =B ．又C =2A , A +B +C =π．

3π

∴A =与已知cos A =矛盾，不合题意，舍去．检验当b =5时满足题意．

44

18．解 设正方形ABCD 的边长为a , ∠APB =α, PA =x , 则PB =2x , PC =3x .

又sin

PA 2+PB 2-AB 25x 2-a 2

=. 在△APB 中，由余弦定理得cos α=2

2PA ∙PB 4x

AB ∙sin ∠PBA a

=sin ∠PBA .

PA x

PB 2+BC 2-PC 2a 2-5x 2

=在△PBC 中，由余弦定理得cos ∠PBC =.

2PB ∙BC 4ax

由正弦定理得sin α=

又∠PBC +∠PBA =90°, 故sin ∠PBA =cos∠PBC .

a 2-5x 2

∴sin α=. ∴sin α=-cosα. ∴α=135°. 即所求角的度数为135°.

4x 2