立体几何(向量法)-线面角

立体几何（向量法）—线面角

例1（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°. (Ⅰ)证明AB⊥A1C;

(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值

.

【答案】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE,A1B,A1E

,

∵AB=AA1,∠BAA1=60,∴∆BAA1是正三角形,

∴A1E⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵CE⋂A1E=E,∴AB⊥面CEA

1, 0

∴AB⊥AC1;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,EA1⊥AB,

又∵面ABC⊥面ABB1A1,面ABC∩面ABB1A1=AB,∴EC⊥面ABB1A1,∴EC⊥EA1, ∴EA,EC,EA1两两相互垂直,以E为坐标原点,EA的方向为x轴正方向,|EA|为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,

有题设知A(1,0,0),A

1(0,

,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则BC

BB1=AA

1),AC

1

),

设n=(x,y,z)是平面CBB1C1的法向量,

⎧⎧⎪n∙BC=0⎪x=0则⎨,

即⎨,可取n

⎪⎪⎩n∙BB1=0⎩x=0

∴cosn,A1C=n∙

A1C, |n||A1C| ∴直线A1C 与平面BB1

C1C例2（2013年高考湖南卷（理））如图5,在直棱柱

ABCD-A1BC1=3. 11D1中，AD//BC,∠BAD=90,AC⊥

BD,BC=1,AD=AA

(I)证明:AC⊥B1D; (II)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.

【答案】解: (Ⅰ) ABCD-A1B1C1D1是直棱柱∴BB1⊥面ABCD,且BD⊂面ABCD⇒BB1⊥AC 又 AC⊥BD,且BD⋂BB1=B,∴AC⊥面BDB。 B1D⊂面BDB，∴AC⊥B1D. 11

(证毕)

(Ⅱ)

B1C1//BC//AD,∴直线B1C1与平面ACD1的夹角即直线AD与平面ACD1的夹角θ。

建立直角坐标系，用向量解题。设原点在A点，AB为Y轴正半轴，AD为X轴正半轴。

设A(0,0，0),D(3,0,0),D1(3,0,3),B(0,y,0),C(1,y,0)，则=(1,y,0),=(3,-y,0), ⊥

AC⋅BD=0⇒3-y2+0=0,y>0⇒y=3.∴AC=(1,3,0),AD1=(3,0,3).

⎧⎪⋅=0设平面ACD1,则⎨⇒.平面ACD1=（-313,=（3，0，3）⎪⎩⋅1=0

∴平面ACD1的一个法向量=（-313）,=（3，0，0）⇒sinθ=|cos|= 3321=77⋅3

所以BD1与平面ACD121. 7