第五章 不可逆过程热力学简介

第五章 不可逆过程热力学简介

1. 教学内容

局域平衡 熵流密度与局域熵产生率、线形与非线形过程 昂萨格关系 2. 本章不作为重点，考试不作要求。 3. 课外习题及习题指导（见附件） 第六章 近独立粒子的最概然分布 1. 教学内容

（1）粒子运动状态的经典描述； （2）粒子运动状态的量子描述； （3）系统微观运动状态的描述； （4）等概率原理； （5）分布和微观状态； （6）玻耳兹曼分布； （7）玻色分布和费米分布； （8）三种分布的关系。 2．本章重难点

（1）本章重点是分布和微观状态的关系、玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布； （2）本章难点是分布和微观状态的关系，熟练掌握玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分

布以及三种分布的关系。

3．例题

例题1 试证明, 在体积V 内, 在ε 到ε + dε 的能量范围内, 三维自由粒子的量子态数为

2πV

D (ε) d ε=3(2m ) εd ε

h .

D (ε) 称为态密度.

证明: 由(1.1.25)得知:在动量p 到p +dp 范围内的量子态(微观状态) 数为

4πV 2p d p 3h , (1.1)

2

ε=p /2m , 易得d ε=p d p /m , 即: 根据三维自由粒子的能量动量关系

p 2=2m ε, d p =m /p d ε=m 1/2/(2ε) 1/2 d ε, (1.2)

将(1.2)代入(1.1),整理可得

2πV D (ε) d ε=3(2m ) εd ε

h

例题2 试证明, 在面积S = L 内, 在ε 到ε + dε 的能量范围内, 二维自由粒子的量子态数为

2

D (ε) d ε=

D (ε) 称为态密度.

2πS

m d ε2h .

证明:仿照由(1.1.23)导出(1.1.25)之过程:在四维μ空间体积元d p x d p y d x d y 中可能的微观

状态数为d p x d p y d x d y /h . 可得, 在面积S 中, 动量绝对值p 到p +dp 范围内的量子态(微观状态) 数为

2π

12πS L L

p d p d ϕd x d y =p d p ⎰⎰0⎰022h h 0, (1.3)

2

ε=p /2m , 易得d ε=p d p /m , 即: 根据二维自由粒子的能量动量关系

2

p =(2m ε) 1/2, d p =m /p d ε=m 1/2/(2ε) 1/2 d ε, (1.4)

将(1.4)代入(1.3),整理可得

D (ε) d ε=

2πS

m d ε2h .

4． 课外习题及习题指导（见附件） 5．本章测试题及其答案

5.1 试证明，对子一维自由粒子，再长度L 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为：

2L ⎛m ⎫D (ε) d ε= ⎪d ε

h ⎝2ε⎭

证明：一维自由粒子，P x 附近的量子态为

P P dP L 12ε

dn =dP x ；ε=x ⇒d ε=x x =2m ε⋅dP x =dP x

h 2m m m m

于是。D (ε)d ε=2

L 2ε

d ε

h m

⎛L 2ε⎫2L 2ε

⎪而 ±P x 对应同一能量ε，于是：D (ε)=2⨯ h m ⎪=h m

⎝⎭

5.2 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N ’. 粒子间的相互作用很弱，可看作是近独

立的。假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。

试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为 a l =ωl e 和 a l =ωl e

-α-βεl

''

-α-βεl '

其中εl 和εl 是两种粒子的能级，ωl 和ωl 是能级简并度。 证： 粒子A 能级，粒子数分布：εl ——{a l }——简并度ωl 粒子B 能级，粒子数分布：εl ——{a ’l }——简并度ωl 由Ω=Ω1⋅Ω2 ln Ω=ln Ω1+ln Ω2

即使Ω最大，Ω1(ln Ω1)， Ω2(ln Ω2)达到最大。 ⇒a l =ωl e

-α-βεl

''

''

（注：δa l 与δa l 在此情况下独立）

a l =ωl e

''

-α'-β'εl '

'

讨论，若将一系作为子系统，意味总能守恒，于是参照教材玻尔兹曼分布证明 ……

⎛a l

⇒∑ln ω

⎝l

⎛a '⎫'⎫''⎫ l ⎪δa -α'δa '-β⎛⎪δa -αδa +ln εδa +εδa l ⎪=0 ∑∑∑∑∑l l l l l l l ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝ωl ⎭

同一β0，原题得证。这也是满足热平衡的要求。 5.3 根据玻色系统的微观状态数

W B =∏

在

l

(ωl +a l -1)! (ωl -1)! a l ! ,

ωl +a l -1≈ωl +a l >>1, ωl -1≈ωl >>1和a l >>1的条件下, 导出玻色分布.

解：对玻色系统，若粒子总数和总能量为常数，则有约束条件

N =∑a l

l

， .

E =∑a l εl

l

由拉格朗日未定乘子法, 可对微观状态数的对数求有约束条件的变分极值, 从而得到最可几分布, 即

δ(lnW B -αN -βE ) =0.

其中, α和β为未定乘子, 分别由两个约束条件为常数来确定.

⎛(ωl +a l )! ⎫

δln W B ≈δ ln ∏ω! a ! ⎪⎪

l l l ⎝⎭ 应用斯特林公式, 有

=δ∑((ωl +a l ) ln(ωl +a l ) -(ωl +a l ) -ωl ln ωl +ωl -a l ln a l +a l )

l

=∑(ln(ωl +a l ) -ln a l )δa l

l

,

则

⎛ωl ⎫

δ(lnW B -αN -βE ) =∑ +1) -α-βεl ⎪ ⎪δa l =0

l

⎝

a l

⎭

,

由于所有的

a l 独立, 所以

ωl

a l

+1) -α-βε=0

,

整理可得 即欲求的玻色分布.

a l =

ωl

e α+βεl -1,

6. 考试要求

（1） 理解粒子运动状态的经典描述和量子描述，掌握三种分布的关系，

（2） 会求解粒子的最概然分布和确定粒子的量子态数。本章考试出现的形式为证明题或

计算题。