范文无忧网1.A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C 为焦点的椭圆过点A 、B ，求另一个焦点F 的轨迹方程。 10、如图，点P(3，4) 为圆x 2+y 2=25上的一点，点E ，F 为y 轴上的两点，△PEF 是以点P 为顶点的等腰三角形， 直线PE ，PF 交圆于D ，C 两点，直线CD 交y 轴于点A ， 则sin ∠DAO 的值为 ( )
A ．
45
B ．
23
C ． D ． 5543
3. 设1≤x ≤y ≤z ≤t ≤100, 则
12
x y
+
z t
的最小值是
15
110
（ ）
A ．2 B ． C ． D ．
10． 从一楼到二楼的楼梯共有n 级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n 级台阶共有
f (n ) 种走法，则下面的猜想正确的是
（ ）
A.f (n )=f (n -1)+f (n -2)C. f (n )=2f (n -1)-1
1. 在∆ABC 中，设命题p :
a sin C
=
b sin A
=
c sin B
(n ≥3) B.f (n )=2f (n -1)(n ≥2)
(n ≥2) D.f (n )=f (n -1)f (n -2)(n ≥3)
，命题q :∆ABC 是等边三角形，那么命
题p 是命题q 的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
12. 设a ，b 为大于1的正数，并且ab +a -b -10=0，如果a +b 的最小值为m ，则满足
3x +2y ≤m 的整点(x , y )的个数为 （ ）
2
2
A.5 B.7 C.9 D.11
1、 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 是面AA 1B 1B 上点，P 到平面A 1B 1C 1D 1距离是P 到BC 距离的2倍，则P 轨迹所在曲线是 （ ） （A ）直线 （B ）椭圆 （C ）抛物线 （D ）双曲线
2、 记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max {x 1, x 2, …, x n }，最小数为min {x 1, x 2, …, x n }. 已知V ABC
的三边长为a , b , c ≤(a ≤
定义它的倾斜度为b ，c
⎧a b c ⎫⎧a b c ⎫
l =max ⎨, , ⎬∙min ⎨, , ⎬，则“l =1”是“V ABC 为等边三角形” （ ）
⎩b c a ⎭⎩b c a ⎭
（A ）必要而不充分的条件 （B ）充分而不必要的条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件 10. 有一条长度为1的线段EF , 其端点E 、F 在边长为3的正方形ABCD 的四边滑动，当F 绕着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹长度最接近于
A. 8 B. 11 C. 12 D. 10 11. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm ， 满盘时直径120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，
则满盘时卫生纸的总长度大约是 ▲ m （π取3.14，精确到1m ）. 12. 已知数列{a n }满足a 1=2, a n +1=
5a n -133a n -7
(n ∈N ), 则数列
*
{a n }的前100项的和为 ▲ .
2．已知函数y =f (x ) ，对任意的两个不相等的实数x 1, x 2，都有f (x 1+x 2) =f (x 1) ⋅f (x 2) 成立，且f (0) ≠0，则f (-2006) ⋅f (-2005) ⋅.......... . f (2005) ⋅f (2006) 的值是______. 8.
已知a
2，则函数f (x ) =
+x -2的零点个数为
A ．1 B．2 C．3 D．4
9.
P
为双曲线
2
2
x
2
9
-
y
2
16
=1的右支上一点, M , N 分别是圆(x +5) 2+y 2=4和
的最大值为
(x -5) +y =1 上的点，则PM -PN
A ．6 B．7 C．8 D．9
12．已知x >
0，由不等式x +
可以推出结论：x +
A ．2n
a x
n
1x
≥*
=2, x +
4x
2
=
x 2
+
x 2
+
4x
2
≥=3, , ≥n +1(n ∈N ), 则a =
（ ） B ．3n
C ．n 2 D ．n n
10．已知函数f (x ) 对任意x ∈R 都有f (x +4) -f (x ) =2f (2)，若y =f (x -1) 的图象关于直线x =1对称，且f (1)=2，则f (2011)=
A ．2 B．3 C．4 D．6
16．将1，2，3，„，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列
从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数有 （种）
3．已知函数
f (x ) 满足f (1) =1，对于任意的实数x , y 都满足
f (x +y ) =f (x ) +f (y ) +2y (x +y ) +1，若x ∈N *，则函数f (x ) 的解析式为_________.
5．函数f
f (x )
f
(x +2)=
1f
对于任意实数x 满足条件
(x )，若
f (1)=-5,
则
(f (5))=__________.
①每一个四面体都有唯一的外接球； ②每一个四面体都有唯一的内切球；
③每一个四面体都有唯一的与其六条棱都相切的球； ④任何一个三棱柱都可以分解成三个等体积的四面体；
15．下面有关四面体的命题：
⑤对任意一个四面体，存在一个顶点，使得从该点出发的三条棱作为边长可以构成一个三角形。
其中正确命题的序号是。
1． 直线y =kx 与曲线y =e |lnx |-|x -2|有3个公共点时，实数k 的取值范围是
2． 已知实数p >0，直线3x -4y +2p =0与抛物线x =2py 和圆x +(y -
从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D , 则
AB CD
2
2
p 2
) =
2
p
2
4
的值为 ▲ ．
3． 设函数f (x ) 的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x +k ∈D ，
且f (x +k ) >f (x ) 恒成立，则称函数f (x ) 为D 上的“k 型增函数”．已知f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x ) =|x -a |-2a ，若f (x ) 为R 上的“2011型增函数”，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 11．将关于x 的多项式f (x ) =1-x +x -x + +-x
2
3
19
+x
20
表示
21920
为关于y 的多项式g (y ) =a 0+a 1y +a 2y + +a 19y +a 20y ，
其中y =x +1，则a 0+a 1+ +a 20
12．设函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且满足f (x +2) =-f (x ) 。
又当0≤x ≤1时，f (x ) =
12
12
x ，则当-10≤x ≤10，方程
f (x ) =-
的根的和为。7．双曲线
x a
22
-
y b
22
=1(a >0, b >0) 与椭圆
x
2
25
+
y
2
9
=
1的
焦点相同，若过右焦点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是 （ ）
A ．（2，4）
B ．(2, 4]
C ．[2, 4)
D ．(2,+∞)
6．若曲线C :x 2+y 2+2ax -4ay +5a 2-4=0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范
围为
A ．(-∞, -2)
B ．(-∞, -1)
C ．(1,+∞)
（ ） D ．(2,+∞) （ ） D ．被3除余1的数
n 1n -1n -1n
7．若9+C n +19+ +C n +19+C n +1是11的倍数，则正整数n 为
A ．偶数 B ．奇数 C ．3的倍数
8．已知实数m ，n 满足0
①2m =3n ; ②log 2m =log 3n ; ③m 2=n 2。其中可能成立的有 A ．0个
B ．1个
C ．2个
（ ） D ．3个
9．设a 1, a 2, , a n (n ≥4) 是各项均不为零的等差数列，且公差d ≠0。若将此数列删去某一
项后得到的数列（按原来的顺序）为等比数列，则此等差数列的项数n 的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
⎧1
, x ≠2, ⎪
10．定义在R 上的函数f (x ) =⎨|x -2|若关于x 的方程f 2(x ) +af (x ) +b =3有三个
⎪1, x =2. ⎩
不同的实数解x 1, x 2, x 3, 且x 1
222
A ．x 1+x 2+x 3=14 B ．a +b =2
（ ） D ．x 1+x 3=4
C ．x 1+x 3>2x 2
10．如图，已知球O 是棱长为1 的正方体ABC D -A 1B 1C 1D 1的内切球，
则平面A C D 1截球O 的截面面积为
3
C 1
1
· O A ．
B ．
π3
C 6
D ．
π6
A 11．将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为
A ．96 B ．114 C ．128 D ．136
A
B
C
57．如图，折线段AP →PQ →QC 是长方形休闲区域ABCD 内规划的一条小路，已知
A B =1百米， AD =a （a ≥1）百米，点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上，
PQ ⊥BC ，Q 为垂足．
（1）试问点P 在圆弧何处，能使该小路的路程最短？最 短路程为多少？
（2）当a =1时，过点P 作PM ⊥CD ，垂足为M ．若将矩形PQCM 修建为观
3、
赏水池，试问点P 在圆弧何处，能使水池的面积最大？ 20. 若n ∈
N ，1+
*
(
n
=
n +b n （a n 、b n ∈Z ）.
(1) 求a 5+b 5的值；
（2）求证：数列{b n }各项均为奇数.
4、 (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小
题满分9分。
(1)A(-2,0)、B(2,0)，M 满足MA ⋅MB =0，求M 轨迹。
(2)若(1)中的轨迹按向量(1,–1) 平移后恰与x+ky–3=0相切，求
(3)如图，l 过
x
22
a b
直线，E 、F 是两焦点，P ∈l ，P 、A 不重合，若∠EPF=α，
+
y
22
=1 (a>b>0)长轴顶点A 且与长轴垂直的
则有0
c
a b b
是过焦点F 且垂直x 轴的直线，A 、B 是两顶点，P ∈l ，P 、F 不重合，∠APB=α，求α取值范围。
，类比此结论到
x
22
-
y
22
=1 (a>0，b>0)，l
4． （本小题15分）
已知椭圆C ：
x a
222
y b
2
22
+=1(a >b >0) ，点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，直
线AB 与圆G ： x +y =
c
2
4
（c 是椭圆的焦半距）相离，P 是直线AB 上一动点，过点P
作圆G 的两切线，切点分别为M 、N ． （1）若椭圆C 经过两点(1,
3、(
2
，求椭圆C 的方程；
（2）当c 为定值时，求证：直线MN 经过一定点E ，并求OP ⋅OE 的值（O 是坐标原点）；
（3）若存在点P 使得△PMN 为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．
y A
M
N
5． （本小题16分）
21. 在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于-
13
.
(Ⅰ) 求动点P 的轨迹方程；
(Ⅱ) 设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。
17. 已知椭圆面积为4。
(Ⅰ) 求椭圆的方程：
(Ⅱ) 设直线l 与椭圆相交于不同的两点A , B 。已知点A 的坐标为(-a ，0) ，点Q (0，y 0)
在线段AB 的垂直平分线上，且Q A Q B =4。求y 0的值。
x a
22
+
y b
22
=1(a ＞b
＞0) 的离心率e =
2
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的
18. 设椭圆C 1：
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0) ，抛物线C 2：x +by =b .
22
(1) 若C 2经过C 1的两个焦点，求C
1的离心率； (2) 设A (0,b ), Q 54
又M 、N 为C 1与C 2不在y 轴上的b ) ，
34
b ) ，且∆QMN 的重心
两个交点，若∆AM N 的垂心为B (0,
在C 2上，求椭圆C 1和抛物线C 2的方程．
19．如图，用四种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。则不同的涂色方法共有 （A ） 288种 （B ）264种 （C ） 240种 （D ）168种
20. 某学校举行知识竞赛, 第一轮选拔共设有A , B , C , D 四个问题，规则如下：
① 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A , B , C , D 分别加1分、2分、3分、
6分，答错任一题减2分；
② 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当
累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局； ③ 每位参加者按问题A , B , C , D 顺序作答，直至答题结束. 假设甲同学对问题A , B , C , D 回答正确的概率依次为之间没有影响.
(Ⅰ) 求甲同学能进入下一轮的概率；
（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学的E ξ. 20．（本小题共13分）
已知∆ABC 的边A B 所在直线的方程 为x -3y -6=0, M (2，0) 满足BM =MC ,
点T (-1，1) 在AC 所在直线上且AT ⋅AB =0．
（1）求∆ABC 外接圆的方程；
（2）一动圆过点N (-2，0) ，且与∆ABC 的 外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹方程Γ；
（3）过点A 斜率为k 的直线与曲线Γ交于相异的P , Q 两点，满足O P ⋅O Q >6，求k 的
3111
, , , ，且各题回答正确与否相互4234
取值范围．
18．（本题12分）在几何体A B C D E 中, ∆ABC 是等腰直角三角形, ∠ABC =90, B E 和CD 都垂直于平面ABC , 且B E =A B =2C D =2， 点F 是A E 的中点。
（1）求证：DF //平面ABC ；
（2）求面B D F 与面ABC 所成的角余弦值. 21．（本小题满分14分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =
12
*
na n +1(n ∈N ) ，其中a 1=1.
E
F
D
C
（I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）设b k =
a 1a 3 a 2k -1a 2a 4 a 2k
(k ∈N ).
*
（i
）证明：b n
（ii
）证明：b 1+b 2+ +b n
1.
21．（本题14分）已知向量OA =(2, 0), OC =AB =(0,1), 动点M 到定直线y =1的距离等
2
于d , 并且满足O M ⋅AM =k C M ⋅BM -d , 其中O 是坐标原点，k 是参数.
()
（1）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型； （2）当k =
12
时，求O M +2A M 的最大值和最小值；
3
2
（3）如果动点M 的轨迹是圆锥曲线，其离心率e
围。
≤e ≤, 求实数k 的取值范
19．（本题12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n -2=(b -1)S n .
n
（1）证明：当b =2时，{a n -n ⋅2n -1}是等比数列； （2）求{a n }的通项公式20．（本小题满分13分）
如图所示，点A (p , o )(p >0) ，点R 在y 轴上运动，点T 在x 轴上，N 为动点，
且
R T ⋅R A =0, R N +R T =0.
（I ）设动点N 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；
（II ）设P ，Q 是曲线C 上的两个动点M (x 0, y 0) 是曲线C 上一定点，若P M ⋅Q M =0，
试证明直线PQ 经过定点，并求出该定点的坐标。
19．（本小题满分12分）
已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且(2n -1) S n +1-(2n +1) S n =4n 2-1(n ∈N
*) . （Ⅰ）求数列{
a n }的通项公式；
+
+ +
>12
1) .
21．（本小题满分14分）
已知椭圆C :
x
a
22
+
y b
22
=1(a >
b >0) 2
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为
半径的圆与直线x -y +=0相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若过点M (2, 0) 的直线与椭圆C 相交于两点A , B ，设P 为椭圆上一点，且满足
OA +
OB =tOP （O
为坐标原点），当|P A -P B |
3
t 的取值范围．
20. （本小题满分12分）
已知数列{a n }是各项不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a n =S 2n -1, 令b n =
2
1a n ⋅a n +1
，数列{b n }的
前n 项和为T n .
（1）求数列{a n }的通项公式及数列{b n }的前n 项和T n ；
（2） 是否存在正整数m , n (1
如图，在等边∆ABC 中，O 为边
AB 的中点，AB =4，D
、E 为∆ABC 的高线上的点，
==若以A , B 为焦点，O 为中心的椭圆过点
D ，建立适当的直角坐标系，记椭圆为M .
（1）求椭圆M 的方程；
（2）过点E 的直线l 与椭圆M 交于不同的两点P , Q ，点P 在点E , Q之 间, 且EP =λEQ ，求实数λ的取值范围.
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第一个小题满分4分，第2个小题满分6分, 第3个小题满分8分．已知曲线C :x +（1）讨论曲线C 所表示的轨迹形状；
2
→
→
O
B
y
2
a
=1，直线l :kx -y -k =0，O 为坐标原点．
（2）当k =1时，直线l 与曲线C 相交于两点M , N ，
若M N =求曲线C 的方程； （3）当a =-1时，直线l 与曲线C 相交于两点M , N ，试问在曲线C 上是否存在点Q ，
使得O M +O N =λO Q ？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
22
11. 已知点A (1, 2) 是离心率为的椭圆C ：
x b
22
+
y a
22
=1(a >b >0) 上的一点．斜率为
2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）∆ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （Ⅲ）求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．
⎧x ≥0
⎪
17. （本小题满分14分）已知平面区域⎨y ≥0恰好被面积最小的圆
⎪x +2y -4≤0⎩
C :(x -a ) +(y -b ) =r 及其内部所覆盖.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2
2
2
(1) 试求圆C 的方程.
(2) 若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点A , B , 满足CA ⊥CB , 求直线l 的方程. 18. (本小题满分14分) 某房地产开发商投资81万元建一座写字楼, 第一年装修费为1万元, 以后每年增加2万元, 把写字楼出租, 每年收入租金30万元. (1) 若扣除投资和装修费, 则从第几年开始获取纯利润？ (2) 若干年后开发商为了投资其他项目, 有两种处理方案: ① 纯利润总和最大时, 以10万元出售;
② 该楼年平均利润最大时以46万元出售该楼, 问哪种方案更优？ 22．（本小题满分14分）
已知动圆M 过定点P (0,m )(m >0) ，且与定直线l 1:y =-m 相切，动圆圆心M 的轨迹为C ，直线l 2过点P 交曲线C 于A , B 两点．
(Ⅰ) 求曲线C 的方程； (Ⅱ) 若l 2交x 轴于点S , 且
SP SA
+SP SB
=3，求l 2的方程；
(Ⅲ) 若l 2的倾斜角为30 ，在l 1上是否存在点E 使∆A B E 为正三角形? 若能，求点E 的坐标；若不能，说明理由．
19. （本小题16分）已知数列{a n }中a 1=
1a n -1
35
, a n =2-
1a n -1
(n ≥2, n ∈N +), 数列{b n },
满足b n =
(n ∈N +).
(1) 求证数列{b n }是等差数列;
(2) 若S n =(a 1-1) ⋅(a 2-1) +(a 2-1) ⋅(a 3-1) + +(a n -1) ⋅(a n +1-1) , 则S n 是否存 在最大值或最小值？若有, 求出最大值与最小值, 若没有说明理由.
1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点
M (1, 2)
P
C
，它们在x 轴上有共同焦点，椭
圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点. （Ⅰ）求这三条曲线的方程； （Ⅱ）已知动直线l 过点
A P
P (3, 0)
，交抛物线于A , B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以
为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.
=
6
{a }中，a 2．已知正项数列
n
1
，点
A n a n (
在抛物线y
2
=x +1
上；数列
{b }中，点
n
B n (n , b n )
在过点
(0,1)，以方向向量为(1, 2)的直线上.
n
n
（Ⅰ）求数列
{a }, {b }的通项公式；
⎧⎪a n , (n 为奇数)f (n )=⎨
f (k +27⎪⎩b n , (n 为偶数)，（Ⅱ）若问是否存在k ∈N ，使
)=4f k ()成立，若存在，
求出k 值；若不存在，说明理由；
a
n +1
⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫1+1+ 1+⎪ ⎪ ⎪
b b b 12n ⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （Ⅲ）对任意正整数n ，
不等式
a
-
n
≤0
成立，求正数
的取值范围.
x
2
3. 将圆O:
+y
2
=4
上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),
得到曲线C. (1) 求C 的方程;
(2) 设O 为坐标原点, 过点F (3, 0) 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N为线段AB 的中点, 延长线段ON 交C 于点E.
求证: OE =2ON 的充要条件是|A B | =3.
f (x ) =
1
x
4+2(x ∈R ) .
4. 已知函数
1, )
(1) 试证函数f (x ) 的图象关于点24对称;
(a n =f (
n m
) (m ∈N +, n =1, 2, , m )
1
(2) 若数列项和
S m ;
{a n }
的通项公式为, 求数列
{a n }
的前m
b 1=
1
3, b n +1=b n +b n . 设
2
(3) 设数列若(2)中的
{b n }
T n =
1b 1+1
+
1b 2+1
+ +
1b n +1
满足: .
S n
满足对任意不小于2的正整数n,
=1
S n
恒成立, 试求m 的最大值.
a n =
2S n
2
a 1
a n }{5．已知数列中，
3，当n ≥2时，其前n 项和
S n
满足
2S n -1
，
求
S n
lim
a n S n
2
的表达式及
n →∞
的值；
求数列
{a n }的通项公式；
n +2n
S n (n =1, 2, 3 ). 证明：
数列{a n }的前n 项和记为Sn ，已知a 1=1, a n +1=
（Ⅰ）数列{
S n n
是等比数列；
（Ⅱ）求数列{S n }的前n 项和T n .
18. （16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O :x +y =1与x 轴交于A , B 两点，点
F (t , 0) 为一定点.
2
2
x
22
（1）若双曲线a
-
y b
22
=1(a >0, b >0)
π
的一渐近线的倾斜角为3，右焦点为F ，且该双
曲线的两条准线恰与圆O 都相切，求实数t 的值；
t =
1
2时，过点F 作两条相互垂直的直线l 1, l 2, 记l 1, l 2被圆O 截得的弦长分别为1
d 1, d 2
（2）当
，求
d 1
2
+
1d 2
2
的最小值；
（3）当t =3时，过点F 作垂直于x 轴的直线l , P 是圆O 上异于A , B 的任意一点，直线PA 交直线l 于点M ，直线PB 交直线l 于点N . 求证：以MN 为直径的圆总经过两个定点.
y =
x
2上，点列
A n (x n , 0), n ∈N
*
19．（16分）已知点列其中
x 1=a , 0
{x n }
B n (n , y n ), n ∈N
*
在直线
*
在x 轴上，
A , B , A B
，对任意的n ∈N ，点n n n +1构成以n 为顶点的等腰三角形.
（1）求数列的通项公式；
A n B n A n +1
（2）是否存在n ，使三角形
20. 已知椭圆C :
x a
22
构成等边三角形？请说明理由.
+
y b
22
⎛2⎫ ⎪在椭圆C 上， =1(a >b >0) 的焦距为2，点M 1, 2⎪⎝⎭
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 若过点B (0, 2) 的直线与(1)中的椭圆交于不同的两点D , E （D 在B
试求∆OBD 与∆OBE 面积之比的取值范围. 21. 已知函数f 1(x ) =
、E 之间）；
1|x -m |
, （其中m ∈R 且m ≠0）. f (x ) =() 22
24x +16
mx
（1）讨论函数f 1(x ) 的单调性；
（2）若m
⎧f 1(x ), x ≥2
（3）设函数g (x ) =⎨, 当m ≥2时，若对于任意的x 1∈[2, +∞) ，总存在唯一
⎩f 2(x ), x
的x 2∈(-∞, 2) ，使得g (x 1) =g (x 2) 成立．试求m 的取值范围． 19、(本小题满分12分) 已知数列{a n }满足a 1=
2 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列⎨
20、(本题满分13分)
已知线段CD =，C D 的中点为O ，动点A 满足AC +AD =2a （a 为正常数）． （1）求动点A 所在的曲线方程；
（2）若存在点A ，使AC ⊥AD ，试求a 的取值范围；
（3）若a =2，动点B 满足BC +BD =4，且AO ⊥O B ，试求∆AO B 面积的最大值和最小值．
19. 已知数列{a n }的前n 项和为A n ，且对任意正整数n ，都满足：t a n -1=A n ，其中t >1
=1+
1n
；
⎧a n ⎫
⎬的前n 项和为S n ，试比较a n -s n 与2的大小． ⎩n ⎭
为实数.
（1）求数列{a n }的通项公式；
1n
（2）若b n 为杨辉三角第n 行中所有数的和，即b n =C n 0+C n + +C n ，B n 为杨辉三角
前n 行中所有数的和，亦即为数列{b n }的前n 项和，求lim 20．已知函数f (x ) =|2x -1-1|，(x ∈R ) .
A n B n
的值.
n →∞
（1）证明：函数f (x ) 在区间(1,+∞) 上为增函数，并指出函数f (x ) 在区间(-∞,1)上的单调性；
（2）若函数f (x ) 的图像与直线y =t 有两个不同的交点A (m , t ) ，B (n , t ) ，其中m
21. 如图，已知点H (-3, 0) ，动点P 在y 轴上，点Q 在x 轴上，其横坐标不小于零，点M 在直线P Q 上，
3 且满足H P ⋅PM =0，PM =-M Q .
2
（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ； （2）过定点F (1,0) 作互相垂直的直线l 与l '，l 与
（1）中的轨迹C 交于A 、B 两点，l '与（1）中的轨迹C 交于D 、E 两点，求四边形A D B E 面积S 的最小值；
（3）（在下列两题中，任选一题，写出计算过程，并求出结果，若
同时选做两题，
则只批阅第②小题，第①题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）： ① （解答本题，最多得6分）将（1）中的曲线C 推广为椭圆：将（2）中的定点取为焦点F (1, 0)，求与（2）相类似的问题的解； ② （解答本题，最多得9分）将（1）中的曲线C 推广为椭圆：将（2）中的定点取为原点，求与（2）相类似的问题的解.
*
22. 设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是i 、j ，坐标平面上点列A n 、B n (n ∈N )
x
2
2
+y =1，并
2
x a
22
+
y b
22
=1，并
→→
→→→→→→→
分别满足下列两个条件：①OA 1=j 且A n A n +1=i +j ；②OB 1=3i 且
→
B n B n +1=() ⨯3i .
3
2
n
→
→
→
（1）求OA 2及OA 3的坐标，并证明点A n 在直线y =x +1上； （2）若四边形A n B n B n +1A n +1的面积是a n ，求a n (n ∈N *) 的表达式；
（3）对于（2）中的a n ，是否存在最小的自然数M ，对一切n ∈N *都有a n
23. 已知数列{a n }中的相邻两项a 2k -1, a 2k （k =1, 2, 3 ）是关于x 的方程
x
2
-(4k +2+2) x +(2k +1) ⨯2
k k +1
=0的两个根，且a 2k -1≤a 2k
(k =1, 2, 3, ).
（1）求a 1, a 2, a 3, a 4的值； （2）求a 2n -1 及a 2n ； （3）求数列前2n 项和S 2n . 24. 设椭圆C ：
x a
22
+
y b
22
，且其右焦点到直线 =1（a ＞b ＞0）的一个顶点坐标为A （0, -2）3.
y -x -22=0的距离为
（1）求椭圆C 的轨迹方程；
（2）若A 、B 是椭圆C 上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于
点M ，则称弦AB 是点M 的一条“相关弦”，如果点M 的坐标为M （, 0），求证：点M
21
的所有“相关弦”的中点在同一条直线上；
（3）对于问题（2），如果点M 坐标为M （t , 0），当t 满足什么条件时，点M （t , 0）存在无
穷多条“相关弦”，并判断点M 的所有“相关弦”的中点是否在同一条直线上. 25. 定义：项数为偶数的数列，若奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则称该数列为“对偶数列”．
（1）若项数为20项的“对偶数列”{a n }，前4项为1，1，3，及20项的和；
（2）设项数为2m (m ∈N ) 的“对偶数列”{a n }前4项为1，1，3，
*
12
，求该数列的通项公式
12
，试求该数列前
n (1≤n ≤2m , n ∈N ) 项的和S n ；
*
（3）求证：等差数列{a n }(a n ≠0) 为“对偶数列”当且仅当数列{a n }为非零常数数列． 0)，26. 已知F 1(-2, 0), F 2(2，点P 满足PF 1-PF 2=2, 记点P 的轨迹为E ，．
（1）求轨迹E 的方程；
→
（2）若直线l 过点F 2且法向量为n =(a , 1) ，直线与轨迹E 交于P 、Q 两点．
①（文）求实数a 的取值范围；
（理）过P 、Q 作y 轴的垂线PA 、QB , 垂足分别为A 、B , 记|PQ |=λ|AB |，试确定λ的取值范围；
→
→
②在x 轴上是否存在定点M, 无论直线l 绕点F 2怎样转动，使MP ⋅MQ =0恒成立？如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由．
27. 已知F 1(-1, 0), F 2(1,0) 是椭圆C 的两个焦点, A 、B 为过F 1的直线与椭圆的交点, 且
∆F 2A B 的周长为43.
(Ⅰ) 求椭圆C 的方程; (Ⅱ) 判断
1F 1A
+
1F 1B
是否为定值, 若是求出这个值, 若不是说明理由.
28错误！未指定书签。．若数列{a n }(n ∈N *) 满
足:(1)a n ≥0;(2)a n -2a n +1+a n +2≥0;(3)a 1+a 2+ +a n ≤1, 则称数列{a n }为“和谐”数列.
验证数列{a n }, {b n }, 其中a n =
30. 已知一次函数f(x)的图象关于直线x-y=0对称的图象为C ，且f(f(1))=-1，若点⎛a n +1⎫a n +1a *
-n =1(n ≥2)． n ，⎪n ∈N 在曲线C 上，并有a 1=1，
a n ⎭a n a n -1⎝
1n (n +1)
, b n =
12n
是否为“和谐”数列;
()
(1)求f(x)的解析式及曲线C 的方程； (2)求数列{an }的通项公式； a a a a 123n
+ (3)设S ，求lim S n 的值． n
n →∞3! 4! 5! n +2! ()
31. 由函数y=f（x ）确定数列{an }，a n =f（n ），函数y=f（x ）的反函数y=f （x ）能确定数列{bn }，b n = f –1（n ），若对于任意n ∈N *，都有b n =an ，则称数列{bn }是数列{an }的“自反数列”.
（1）若函数f （x ）=
px +1x +1
－1
确定数列{an }的自反数列为{bn }，求a n ；
n 1
（2）已知正数数列{cn }的前n 项之和S n =（c n +）. 写出S n 表达式，并证明你的结论；
c n 2
（3）在（1）和（2）的条件下，d 1=2，当n ≥2时，设d n =项之和，且D n >log a （1－2a ）恒成立，求a 的取值范围.
-1a n S n
2
，D n 是数列{dn }的前n
2
33. 数列{a n }中，a n +1=
a n
2a n -2
，n ∈N *．若a 1=
94
，设b n =l og
a n -2
13
a n
，求证数列{b n }是
等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；
34. 已知椭圆C 的中心坐标在原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A 、B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标 。
35. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上， F 1、F 2分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与→
两焦点构成等边三角形, 且|F 1F 2|=2； (1)求椭圆方程
(2)对于x 轴上的某一点T ，过T 作不与坐标轴平行的直线L 交椭圆于P 、Q 两点，若存在x 轴上的点S ，使得对符合条件的L 恒有∠PST =∠QST 成立，我们称S 为T 的一个配对点，当
T 为左焦点时，求T 的配对点的坐标；
(3)在(2)条件下讨论当T 在何处时，存在有配对点？
36. 可以证明, 对任意的n ∈N *, 有(1+2+ +n ) 2=13+23+ +n 3成立．下面尝试推广该命题:
（1） 设由三项组成的数列a 1, a 2, a 3每项均非零, 且对任意的n ∈{1,2, 3}有
(a 1+a 2+ +a n ) =a 1+a 2+ +a n 成立, 求所有满足条件的数列;
2
3
3
3
（2） 设数列{a n }
2
3
3
每项均非零, 且对任意的
3
n ∈N
*
有
(a 1+a 2+ +a n ) =a 1+a 2+ +a n 成立, 数列{a n }的前n 项和为S n ．求证: a n +1-a n +1=2S n , n ∈N ;
2
*
（3） 是否存在满足（2）中条件的无穷数列{a n }, 使得a 2012=-2011? 若存在, 写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）; 若不存在, 说明理由．
37. 甲和乙参加智力答题活动，活动规则：①答题过程中，若答对则继续答题；若答错则停止答题；②每人最多答3个题；③答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，
答错得0分。已知甲答对每个题的概率为 （1）求甲恰好得30分的概率；
，乙答对每个题的概率为。
（2）设乙的得分为，求的分布列和数学期望； （3）求甲恰好比乙多30分的概率.
25. 在平行四边形OABC 中，已知过点C 的直线与线段OA , OB 分别相交于点M , N 。若OM =x OA , ON =y OB 。
（1）求证：x 与y 的关系为y =
x x +1
x x +1
；
1f (x )
-1(0
（2）设f (x ) =，定义函数F (x ) =
P i (x i , F (x i ))(i =1, 2, , n , n ≥2) 在函数F (x ) 的图像上，且数列{x n }是以首项为1，公比
为
12
的等比数列，O 为原点，令OP =OP 1+OP 2+ +OP n ，是否存在点Q (1, m )
，
得OP ⊥OQ ？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由。
（3）设函数G (x ) 为R 上偶函数，当x ∈[0, 1]时G (x ) =f (x ) ，又函数G (x ) 图象关于直线
x =1对称， 当方程G (x ) =ax +
12
在x ∈[2k , 2k +2](k ∈N ) 上有两个不同的实数解时，
求实数a 的取值范围。
26．从数列{a n }中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{a n }的一个子数列．设数列{a n }是一个首项为a 1、公差为d (d ≠0) 的无穷等差数列． （1）若a 1，a 2，a 5成等比数列，求其公比q ．
（2）若a 1=7d ，从数列{a n }中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{a n }的无穷等比子数列，请说明理由．
（3）若a 1=1，从数列{a n }中取出第1项、第m (m ≥2) 项（设a m =t ）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t 为何值时，该数列为{a n }的无穷等比子数列，请说明理由．
27．设P (a , b )(a ⋅b ≠0)、R (a , 2)为坐标平面xo y 上的点，直线OR （O 为坐标原点）与抛物线y =
2
4ab
x 交于点Q (异于O ).
2
(1)若对任意ab ≠0，点Q 在抛物线y =mx +1(m ≠0)上，试问当m 为何值时，点P 在某一圆上，并求出该圆方程M ；
22
(2)若点P (a , b ) (ab ≠0)在椭圆x +4y =1上，试问：点Q 能否在某一双曲线上，若能，
求出该双曲线方程，若不能，说明理由；
(3)对（1）中点P 所在圆方程M ，设A 、B 是圆M 上两点，且满足OA ⋅OB =1，试问：是否存在一个定圆S ，使直线A B 恒与圆S 相切.
28．设数列{a n }(n =1, 2, )是等差数列，且公差为d ，若数列{a n }中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）若a 1=4, d =2，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？
（2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，若公差d =1, a 1>0，试问：是否存在这样的“封闭数⎛111⎫11
++ +列”，使lim ；若存在，求{a n }的通项公式，若⎪=n →∞S S S 92n ⎭⎝1
不存在，说明理由；
29．已知抛物线y 2=4ax （a >0且a 为常数），F 为其焦点． （1）写出焦点F 的坐标；
（2）过点F 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点，且P F =2F Q ，求直线
O
PQ 的斜率；
（3）若线段A C 、B D 是过抛物线焦点F 的两条动弦，且满足AC ⊥BD ，如图所示．求四边形ABCD 面积的最小值S (a ) ．
30．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知AA 1=1，AB =4, BC =3． （1）求：凸多面体ABCD -A 1B 1D 1的体积；
（2）若M 为线段A A 1的中点，求点M 到平面BB 1D 1D 的距离；
（3）（理）若点E 、F 分别在棱A 1D 1、A B 上滑动，且线段EF 的长恒等于2，线段EF 的中点为P
①试证：点P 必落在过线段A A 1的中点M 且平行于底面ABCD 的平面上； ②试求点P 的轨迹．
31．已知数列{a n }满足a 1=a ，a 2=（n ∈N *）． （1）求实数a 的值；
（2）求数列{a n }的通项公式；
12
A
F
B
，S n 是数列的前n 项和，且S n =
n (a n +3a 1)
2
（3）对于数列{b n }，若存在常数M ，使b n
n →∞
1n -1
() ⋅a n 列{b n }的“上渐近值”．若t 1=0，t n =（n ≥2，n ∈N *），记T n 为数列{t n }n -1
的前n 项和，求数列{T n }的上渐近值． 32．如图：已知椭圆C 1:
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0) 的内切圆C 2:x +y =b 的一条切线交椭
222
圆于A 、B, 且切线AB 与圆的切点Q 在y 轴右侧．F (c , 0) 是椭圆的右焦点．
（1）设点A (x 0, y 0) ，试用两点间距离公式推导AF 的表达式（用x 0与a , c 的式子表示）； （2）判断AQ +
AF
n
在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=2a n +2． 33.
（1）设b n =
a n 2
n -1
(n ∈N ) ，证明：数列{b n }是等差数列；
*
（2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求lim
S n n ⋅2
n +1
的值；
T n 4a n -T n
2
n →∞
（3）(文) 设c n =2b n -1，数列{c n }的前n 项和为T n ，d n =
，是否存在实数t ，
使得对任意的正整数n 和实数m ∈[1， 2]，都有d 1+d 2+d 3+ +d n ≥log 8(2m +t ) 成立？请说明理由.
1⎧
，n =1，⎪6⎪*
(n ∈N ) ，T n 为数列{a n }（3）（理）在(2)的条件下，若a n =⎨
1
⎪，n ≥2，4S +1S +1⎪)(n +1)⎩(n
*
的前n 项和，若T n