数学世家伯努利家族的贡献(3)

南 京 师 范 大 学 泰 州 学 院

毕 业 论 文（设 计）

（ 一 四 届）

题 目： 数学世家伯努利家族的贡献 院（系、部）： 专 业： 姓 名： 学 号 指导教师：

南京师范大学泰州学院教务处 制

摘要：在18世纪的世界科学史上，瑞士伯努利家族发出了耀眼的光辉，创造了这样一个神话，在一个家族跨世纪的几代人中，连续出过十余位科学家，堪称科学史上的一个奇迹。伯努利家族在力学、数学、天文学、生理学、领域里具有根本性的贡献，伯努利家族3代人中产生了8位科学家，出类拔萃的至少有3位,而在他们一代又一代的众多子孙中，至少有一半相继成为杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人们系统地追溯过，他们在数学、科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望，有的甚至声名显赫。最不可思议的是这个家族中有两代人，他们中的大多数数学家，并非有意选择数学为职业，然而却忘情地沉溺于数学之中。在整个世界科学界起着承前启后，开辟科学新时代的作用。

关键词：伯努利家族；数学；成就；物理学；

Abstract: In eighteenth Century the world history of science, the Swiss family Bernoulli issued a dazzling brilliance, created such a myth, in a family of several generations century, continuous over-dozen scientists, called the history of science a miracle. the Bernoulli family, in mechanics, mathematics, astronomy, physiology, in the field of fundamental contribution to the Bernoulli family of three generations of people had eight scientists, at least three outstanding; while in their generations many descendants, at least half have become outstanding figures. Bernoulli family, the descendants of not less than 120 had been systematically traced them in math, science, technology, engineering and even legal, management, literature, art, etc. enjoy fame, some even prominent. The most incredible is that there are two generations of this family, most of them mathematicians, math is not intended as a career choice, but it drunkenly indulging in mathematics among. Scientific community in the whole world plays the past and open up a new era of science role.

Keywords: the Bernoulli family; mathematics; achievement; physics;

目录

1 绪论 ......................................................... 3

1.1 研究背景 .......................................................... 3

1.2 研究意义 .......................................................... 3

1.3本课题的研究现状 .................................................. 3

1.4本文解决的主要问题 ................................................ 4

2 介绍伯努利家族 ............................................... 5

2.1伯努利家族概况 .................................................... 5

2.2伯努利家族的传奇和轶事 ............................................ 6

2.3伯努利家族主要成员介绍 ............................................ 6

3 伯努利家族在数学中的贡献 ..................................... 8

3.1伯努利微分方程 .................................................... 8

3.2伯努利概型 ....................................................... 10

3.3伯努利大数定理 ................................................... 11

3.4伯努利不等式 ..................................................... 14 4 伯努利在科学界的贡献 ........................................ 16

4.2伯努利在物理中的应用 ............................................. 16

4.2伯努利在医学中的应用 ............................................. 19 总结 .......................................................... 20 谢 辞 ......................................................... 21 参考文献 ...................................................... 22

1 绪论

1.1 研究背景

瑞士的伯努利家族是科学史上著名的科学家族之一，其家族成员天资聪明，在科学上颇有建树。尤其是在数学方面，更是人才辈出，祖孙三代曾经出现过八位数学家和物理学家，其中著名的有雅科布·伯努利，雅科布的弟弟约翰·伯努利,约翰的次子丹尼尔·伯努利等等。在发展微分理论及其应用上的伯努利家族起了重要作用，有力地推动了近代数学的发展，伯努利数学家族从繁荣到衰落的过程，其原因是值得后人思考的。在此之前，有很多科学家和历史学家，对伯努利家族进行过研究，纵观伯努利家族的家族史不难发现，自17世纪后半叶开始至20世纪30年代，这个名门望族中有据可查的120多人中近半数是优秀人才，伯努利家族作为科学家的家族，是一个特殊的群体，他们以家族关系为纽带，以学术研究为中心，研究科学家家族这种科学共同体，有利于更加深刻全面的了解科学家这个特殊的职业，认识到不同的科学家群体的产生是有其独特的历史环境和主观条件，在这样的背景下，对这个科学家群体进行一个系统的总结是很必要的。

1.2 研究意义

伯努利家族的成功，对我们具有重要的研究意义，他们的数学热情,兴趣，数学的天才以及这个家庭的良好的数学传统的熏陶成为他们成功的主客观原因。从方法论的角度看，“对于科研人员来说，最基本的两种品格就是对科学的热爱和难以满足的好奇心”。这是科学家确定自己的科研方向和选择课题的重要条件，他们具备了这个条件。对数学的极大热情和兴趣，使伯努利家族的成员们看到了数学的光辉前景，确定了自己的理想和事业的目标，成为他们研究数学的非常可贵的动力，致使雅格布醉心于天心学和数学，独自地学习和研究它们，他们受到了良好的家庭教育，使得他们更加了数学的热情，有了良好的数学素养，运用他们的数学才能善于抓住当时各数学分支中最关键的，需要发展和完善的基本概念和基本问题创造性地工作，从而在数学上做出了突出的成就。

1.3本课题的研究现状

随着生产力的发展和科学技术的进步，国内外有不少学者对伯努利理论进行研究，研究内容主要集中在数学、物理学、力学、医学等方面，比如著名学者王静发表的《浅谈伯努利家族在科学界贡献》，印向东的《伯努利概型的应用》等。同时在应用的过程中也产生了一系列问题，因此对伯努利家族的贡献继续研究，尤其是在流体动力学方面的研究越来越深刻，并不断将研究成果赋予实践，推动航天事业的发展。另外研究者也在不断的尝试着用伯努利理论来解决生活中的问题。不断丰富其理论，为其他的科学的发展提供理论支持，也为后人的研究打下了坚实的基础，对于理论的研究是无止境的，因此有关伯努利理论的研究也是无止境的！

1.4 本文解决的主要问题

在现在看来，伯努利家族的贡献是有长远发展的意义的，有必要对它们家族的历史和他们的生活习惯或是他们如何成功的，更重要的是对他们的研究成果，做一个系统，全面的了解，本文利用一些重要的参考文献或是他人对伯努利家族的评价，以及加上我自己对伯努利世家的了解，和对伯努利成就的理解和生产实践应用等诸多方面，本文试图就这些方面做出一定的分析，归纳起来，本文的主要研究内容如下：

（1）伯努利家族的概况，这是怎样的一个家族，是什么在让这个家族，人才辈出。以及家族的传奇和轶事；

（2）对家族中比较卓越的几位成员的个人经历进行概括的介绍，看看这个家族的数学家是如何成为大数学家的；

（3）介绍一些经典的以伯努利命名的定理、定律，以及他们在数学分析中的应用。

（4）对于这样一个不平凡的家族，不仅在数学方面颇有成就，所以本文也将在物理，医学等方面对伯努利家族的贡献做一些介绍。

2 介绍伯努利家族

2.1 伯努利家族的概况

伯努利家族（17～18世纪）Bernoulli family，原籍比利时安特卫普，1583年遭天主教迫害迁往德国法兰克福，最后定居瑞士巴塞尔。17世纪的欧洲大陆在思想上处于相对保守的时期，科学刚刚有所发展，伯努利家族定居的瑞士处于欧洲大陆文化和经济的交汇处，是个“自由”风气盛行的国度，特别是瑞士的第二大名城巴塞尔自由城，长久以来是欧洲大陆文化和学术中心，巴塞尔大学又是欧洲最古老的的大学之一，这些为伯努利家族的成长提供了良好的社会环境，其家族成员就是在这样的社会文化氛围中接受熏陶和培养，展现自己的数学天赋。同时，伯努利家族也有着适合数学思维的良好遗传，这也是伯努利家族成功的不可否认的原因。伯努利这个名门望族中有据可查的120人红近半数是优秀人才，其中有学者、教育家、艺术家、科学家、政治家，不少人名传后世，堪称数学史上的一个神话。

图1 伯努利家族主要成员世系

老尼古拉·伯努利（Nicolaus Bernoulli，公元1623～1708年）生于巴塞尔，受过良好教育，曾在当地政府和司法部门任高级职务。他有3个有成就的儿子。其中长子雅各布（Jocob，公元1654～1705年）和第三个儿子约翰（Johann，公元1667～1748年）成为著名的数学家，第二个儿子小尼古拉（Nicolaus I，公元1662～1716年）在成为彼得堡科学院数学界的一员之前，是伯尔尼的第一个法律学教授。其中家族中成就最大的三人是雅各布第一·伯努利（Jacob Bernoulli），约翰第一·伯努利（Johann Bernoulli），丹尼尔第一·伯努利（Daniel Bernoulli）。

2.2 伯努利家族的传奇和轶事

伯努利家族曾产生许多传奇和轶事，对于这样一个既有科学天赋然而又语言粗暴的家族来说，这似乎是很自然的事情。一个关于丹尼尔的传说这是样的：有一次在旅途中，年轻的丹尼尔同一个风趣的陌生人闲谈，他谦虚地自我介绍说：“我是丹尼尔·伯努利。”陌生人立即带着讥讽的神情回答道：“那我就是伊萨克·牛顿。”作为丹尼尔，这是他有生以来受到过的最诚恳的赞颂，这使他一直到晚年都甚感欣慰。

最为人们津津乐道的轶事之一，是雅各布痴心于研究对数螺线(a)，他发现，对数螺线经过各种变换后仍然是对数螺线：如它的渐屈线和渐伸线是对数螺线，自极点至切线的垂足的轨迹，以极点为发光点经对数螺线反射后得到的反射线，以及与所有这些反射线相切的曲线（回光线）都是对数螺线．他惊叹这种曲线的神奇，竟在遗嘱里要求后人将对数螺线刻在自己的墓碑上，并附以颂词“纵然变化，依然故我”，用以象征死后永生不朽．

2.3 伯努利家族主要成员介绍

2.3.1雅各布第一·伯努利生平

1654年12月27日，雅各布·伯努利生于巴塞尔，毕业于巴塞尔大学，1671年17岁时获艺术硕士学位。这里的艺术指“自由艺术”，包括算术、几何学、天文学、数理音乐和文法、修辞、雄辩术共7大门类。

1678年和1681年，雅各布·伯努利两次外出旅行学习，到过法国、荷兰、英国和德国，接触和交往了许德、玻意耳、胡克、惠更斯等科学家，写有关于彗星理论（1682年）、重力理论（1683年）方面的科技文章。1687年，雅各布在《教师学报》上发表数学论文《用两相互垂直的直线将三角形的面积四等分的方法》，同年成为巴塞尔大学的数学教授，直至1705年8月16日逝世。

1699年，雅各布当选为巴黎科学院外籍院士；1701年被柏林科学协会（后为柏林科学院）接纳为会员。

许多数学成果与雅各布的名字相联系。例如悬链线问题（1690年），曲率半径公式（1694年），“伯努利双纽线”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周问题”（1700年）等。

雅各布对数学最重大的贡献是在概率论研究方面。他从1685年起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的论文，后来写成巨著《猜度术》，这本书在他死后8年，即1713年才得以出版。

2.3.2 约翰·伯努利生平

约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667年7月27日－1748年1月1日）出生于瑞士巴塞尔，是一位杰出的数学家。他是雅各布·伯努利的弟弟，丹尼尔·伯努利（伯努利定律发明者）与尼古拉二世·伯努利的父亲。

从巴塞尔大学毕业后，约翰迁移至日内瓦，在那里教微分方程。1694年，约翰与 (Dorothea Falkner)共结连理。不久后，他成为格罗宁根大学的数学教授。1705年，由于岳父病重，想要与女儿共享天伦之乐。因此，约翰决定返回巴塞尔家乡教书。在归途中，他得到哥哥雅各布因患肺结核过世的噩耗。约翰原本去巴塞尔大学当希腊文教授的计划，也因而有所改变。为了纪念雅各布对学术界的贡献，巴塞尔大学聘请他继承哥哥的数学教授职位。

在举世瞩目的牛顿-莱布尼茨辩论中，牛顿与莱布尼茨两派人马，因为谁是微积分的发明者的荣誉，产生了激烈地争执 (Newton-Leibniz debate)。约翰是莱布尼茨微积分的学生；他站在莱布尼茨这一边。约翰甚至为莱布尼茨辩护；一些牛顿方法无法解答的问题，莱布尼茨的优秀方法可以给予圆满的答案。但是，由于约翰对于牛顿的反对，以及他和笛卡儿跟随者的合作，他大力支持笛卡儿的涡旋理论，同时又强烈地攻击牛顿万有引力定律。因此，牛顿理论在欧洲地广泛接受被拖延了很久。

1691年，约翰成功地解答了雅各布著名的悬链线问题，这使兄弟俩之间的紧张关系更犹如火上浇油。1696年，约翰提出了自己已解出的最速降线问题。在短短的两年内，他接到五个解答，其中一个是雅各布给予的。约翰也曾经建议了一个流体永动机。

2.3.3丹尼尔·伯努利生平

丹尼尔·伯努利，(Daniel Bernoulli 1700～1782)瑞士物理学家、数学家、医学家。1700年2月8日生于荷兰格罗宁根。著名的伯努利家族中最杰出的一位。他是数学家伯努利的次子，和他的父辈一样，违背家长要他经商的愿望，坚持学医，他曾在海得尔贝格、斯脱思堡和巴塞尔等大学学习哲学、论理学、医学。1721年取得医学硕士学位。努利在25岁时(1725)就应聘为圣彼得堡科学院的数学院士。8年后回到瑞士的巴塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教授，1750年成为物理学教授。在1725～1749年间，伯努利曾十次荣获法国科学院的年度奖。

1782年3月17日，伯努利在瑞士巴塞尔逝世，终年82岁。

约翰·伯努利想迫使他的第二个儿子丹尼尔去经商，但丹尼尔在不由自主地陷进数学之前，曾宁可选择医学成为医生。

丹尼尔认为圣彼得堡那地方的生活比较粗鄙，以至于8年以后的1733年，他找到机会返回巴塞尔，终于在那儿成为解剖学和植物学教授，最后又成为物理学教授。

1734年，丹尼尔荣获巴黎科学院奖金，以后又10次获得该奖金。能与丹尼尔媲美的只有大数学家欧拉。丹尼尔和欧拉保持了近40年的学术通信，在科学史上留下一段佳话。

在伯努利家族中，丹尼尔是涉及科学领域较多的人。他出版了经典著作《流体动力学》(1738年)；研究弹性弦的横向振动问题(1741～1743年)，提出声音在空气中的传播规律(1762年)。他的论著还涉及天文学(1734年)、地球引力(1728年)、湖汐(1740年)、磁学(1743、1746年)，振动理论(1747年)、船体航行的稳定(1753、1757年)和生理学(1721、1728年)等。凡尼尔的博学成为伯努利家族的代表。

丹尼尔于1747年当选为柏林科学院院士，1748年当选巴黎科学院院士，1750年当选英国皇家学会会员。他一生获得过多项荣誉称号。

3 伯努利家族在数学中的贡献

3.1 伯努利方程

伯努利方程：形如

dyP(x)yQ(x)yn (3.1) dx

的方程称为伯努利方程，其中n为常数，且n0,1.

伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为一阶线性的. 伯努利方程的解法

(1)一般解法

伯努利方程：

其一般解法步骤如下：

① 方程两端同除以yn得：

yndyp(x)y1nQ(x) dxdyP(x)yQ(x)yn（n0，1）， dx

② 令zy1n即可化为一阶线性微分方程：

dz(1n)P(x)z(1n)Q(x) dx

③ 通过常数变易法求得一阶线性非齐次方程的通解．

④ 最后经变量代换得原方程的通解，

(n1)p(x)dx 即： y1n(1n)e

例3.1.1 求解方程

Q(x)e(1n)p(x)dxdxc. dyyx2dx2x2y

解 这是一个伯努利方程，两端同乘以2y，得

dyy22yx2 dxx

令y2z,代入有

dzzx2, dxx

这已经是线性方程，它的解为 z = Cx+1

2x3.

于是，原方程的解为 y = Cx1x3

2.

(2)常数变易法

方程yp(x)yQ(x)yn(n0,1)， （3.2）的齐次方程的通解为：ycep(x)dx.

设原方程的通解为：

yc(x)ep(x)dx，

代入（3.2）得：

c(x)ep(x)dxcn(x)enp(x)dxQ(x)．

这是一个可分离变量的微分方程，可求出c1n(x)． 即： c1n(x)(1n)[Q(x)e(1n)p(x)dxdxc]， 则原方程的通解为:

y1n(1n)e(n1)p(x)dx[Q(x)e(1n)p(x)dxdxc]．

例3.1.2 解微分方程：dy6y

xxy2

dx

解 原伯努利方程的齐次方程为：

dy

dx6y

x0，

其通解为：

ycx6．

设原方程的通解为：

yc(x)x6，

代入原方程得：

c(x)x66c(x)x56c(x)x5xc2(x)x12，

整理得：

c(x)c2(x)x7，

积分得：

3.2）（

x8

c(x)c，

8

1

则原方程的通解为：

x2c

y6．

8x

1

3.2 伯努利概型

对于伯努利家族在概率方面的研究，我们很容易想到曾经学过的伯努利概型，在许多问题中，我们对试验感兴趣的是试验中某件事是否发生。例如，掷硬币试验中，关心的是出现正面还是出现反面;产品抽样检查中，注意抽取的产品是正品还是废品；射击试验中命中还是不命中；比赛中，胜还是负；„„。在这类问题中试验的结果只有两个，或者事件A发生，或者事件A不发生即A不发生，这种只有两个结果的试验称为伯努利试验。

现在考虑重复进行n次独立的伯努利试验。这里“重复”的意思是指各次试验的田间是相同的。它意味着各次试验中事件A发生的概率保持不变，设这都是p（从而A的概率也保持不变设都是q1p。“独立”的意思是指各次试验的结果是相互独立的。这种试验所对应的数学模型成为伯努利模型。有时为了突出试验次数n，也称为n次伯努利概型或n重伯努利概型。

关于伯努利概型，有如下的重要的定理。

定理3.2 对于伯努利概型，事件A在n次试验中发生k次的概率为

kknk

Pn(k)Cnpq（0kn）

证明 记得Bk“n次试验中事件A发生k次”，Ai=“第i次试验中事件A发生”，i=1,2,3，„,n.事件Bk应是n次试验中k次发生A其余n-k次发生A的一切可能的事件的和，即

BkA1A2„AkAk1An„A1A2AnkAnk1„An

k

显见，和式中共有Cn项，且两两互不相容；有试验的独立性，可以知道各项中的诸事

件是相互独立的，于是不难算得各项概率均为pkqnk。利用概率的有限可加性知P（B）

kknk=Cnpq，即

kknk

Pn(k)Cnpq.

例3.2.1 在图书馆中只有存放技术书和数学书，任一读者借技术书的概率为0.2，而借数学书的概率为0.8.设每人只借一本书，有5名读者依次借书，求至多有2人借数学书的概率。

解 一个读者节一本书有两种结果，或者借数学书（事件A）。或者借技术书（事件A）,因此一个读者借一本书可以看作是一次伯努利试验,5名读者各借一本书可以看作是n=5的伯努利概型。问题归结为计算5次伯努利概型事件中A至多发生2次的概率，其中P(A)=0.8，P(A)=0.2.按照定理的所求概率为 P =

P(k)

5

k0

2

42302

= C5(0.2)5+C1(0.8)(0.2)+C(0.8)(0.2) 55

9 0.057

例3.2.2 某厂每天的产品分三批包装，规定每批产品的次品率低于0.01才能出产。某日有三批产品等待检验出厂，检验员进行抽样检查，从三批产品中各抽出一件进行检验，发现有一件是次品,问该日产品能否出厂？

解： 假设该日产品能出厂，表明每批产品的次品率都低于0.01，在这条件下，我们来计算事件B=“3件产品中至少有1件是次品”的概率。假如将抽出的一件产品是次

品看作事件A，是正品看作A,那么P（A）=p0.01，所求概率为3次伯努利概型中事件A至少发生一次的概率，于是

P（B）= P3(k) = 1- P3(0)

k13

00

=1- C3p （1-p）3

=1-（1-p）31-（0.99）30.03

这是一个小概率，在一次试验中B可以认为是不可能发生的。然而现在经过一次检查中发现有一次是次品，也就是小概率事件B在一次试验中竟然发生了，这表明原来假设不正确，即该日产品不能出厂。

3.3 伯努利大数定律

伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。因此概率论历史上第一个极限定理属于伯努利。它是概率论与数理统计学的基本定律之一，属于弱大数定律之一，当然也称为伯努利大数定律。

它可以通俗的理解，有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。

例如：在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数

1

n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于。

2频率靠近概率的一种客观存在的，可以直接观察到的现象。而伯努利给这种现象给予了一种确切的含义。随着数学的发展，随机变量序列服从大数定律的证明，出现了更多更广泛的大数定律，例如契贝晓夫大数定律，伯努利大数定律就是契贝晓夫大数定律的一个特例。

定理（伯努利大数定律）设n是n重伯努利实验中事件A出现的次数，且A在每次试验中出现的概率为p（0



lim Pnp 1

n

n

证明 令

A发生，0，在第i次试验中事件

，i1,2,....,n,

不发生，1，在第i次试验中事A件

则1， ...n是相互独立的，且,2，

i

E（i）= p，D(I)=p(1-p)，i=1,2,…,n,

而

n

ni

i1

于是

n

n

p



i1

n

i

n



E()

i

i1

n

n

,

D(i)n

从而有

i1

2

n



D()

i

i1

n

n2



np(1p)p(1p)

0(n) 2

nn

limPn



即

iE(i)i1

i11

nn



n

n

limP(

n

n

n

p)1

此定理表明：当n很大时，n重伯努利试验中事件A发生的频率几乎等于事件A在每次试验中发生的概率 即p=

n

，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，n

因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。

1

例3.3.1 抛掷一颗均匀的骰子，为了至少有95﹪的把握使六点向上的概率与概率

6

之差落在0.01的范围之内，问需要抛掷多少次？

解 问题是求满足不等式

n1

P0.01n60.95

参照伯努利大数定理的证明过程，显见D（n）=npq=从而

5n

， 36

D()

n151p0.011. 22n6(0.01)36(0.01)n

n1欲使P0.01n60.95，只要



1

5

0.95， 2

36(0.01)n

n

解上述不等式，求得

n27778

3.4 伯努利不等式

伯努利不等式：

对任意整数n0，和任意实数x1，有(1x)n1nx成立； 如果n0是偶数，则不等式对任意实数x成立。

可以看到在n0,1或x0时等号成立；而对任意正整数n2和任意实数x1,x0，有严格不等式：(1x)n1nx。

伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。 伯努利不等式的一般式为：

(1x1x2xn)(1x1)(1x2)(1xn)，当且仅当n1时等号成立。 证明 设x1,x0,n2N，则(1x)n1nx。 证 用数学归纳法证明。

当n1时，易知上述不等式成立，

设对n1，有：(1x)n11(n1)x成立，则

(1x)n

(1x)n1(1x)1(n1)x(1x)1(n1)xx(n1)x2 1nxnx2x21nx

即nN，x1，有(1x)n1nx。 推广 下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：

若r0或r1，有(1x)r1rx； 若0r1，有(1x)r1rx

例3.4.1已知m,nN

11m1

（1）对于n6。已知1，求证：

n32n32（2）求出满足等式3n4n……n2n3的所有正整数n

n

n

nnm

1m

证明：（1）当n6，mn时；由（1）知11>0 

n3n3m1

于是 11

n3n3

n

mn

nm

111,m1,2,3,......,n

n32

m

m

（2）由（1）知，当n6时，

12n1111111……1

n3n3n322222

nnn23n

n2n13

……

即3n4n……n2

n

n

nnn

4 伯努利家族在科学界的贡献

4.1 伯努利方程在物理中的应用

伯努利不仅是一位数学家，还是一位物理学家．

(1)1738年出版了《流体动力学》一书，共13章。这是他最重要的著作。书中用能量守恒定律解决流体的流动问题，写出了流体动力学的基本方程，后人称之为“伯努利方程”，提出了“流速增加、压强降低”的伯努利原理。

(2)他还提出把气压看成气体分子对容器壁表面撞击而生的效应，建立了分子运动理论和热学的基本概念，并指出了压强和分子运动随温度增高而加强的事实。

(3)从1728年起，他和欧拉还共同研究柔韧而有弹性的链和梁的力学问题，包括这些物体的平衡曲线，还研究了弦和空气柱的振动。

(4)他曾因天文测量、地球引力、潮汐、磁学、洋流、船体航行的稳定、土星和木星的不规则运动和振动理论等成果而获奖。

伯努利通过实验得出：理想流体在做稳定流动时，流速大的地方压强小，流速小的地方压强大(但并非反比关系)，其数学表达式为

pv2/2gh恒量 这就是著名的伯努利方程.

利用伯努利方程来解决实际问题

(1)确定静止液面下深度为h处的压强

如右图所示，在装有液体的容器里取液面上的点A和在液面下深h处的点B来研究，以点B处的水平面作为零(势能)参考面，则

hAh1,hB0,A0

又因液体静止v1v20，代入伯努利方程得

BAgh0gh

(2)求液体从小孔中流出的流速

设在液面下深为h的容器壁上有一小孔，液体从小孔中流出，取在液面上点A和小孔处点B来研究，因为容器的截面比小孔的截面大得多，所以容器中水面的下降很慢，点A处的液体微粒的流速可以不计，即vA0，以B点处高度为零，则hAh，hB0，点A、B处与大气接触，所以AB0（大气压），代入伯努利方程得

1

2

(3)测量流体的流速

0gh0vB2 即vB2gh

测量流体在管中的流速时，可用下图所示的仪器， 因为它常用来测量气流速度，所以叫做气流速度计，分别把必多管A(必多管是一根一端封闭的弯管，封闭端A光滑微尖，并在靠近封闭端的侧面上开有很多的小孔)和一个管口朝向气流的管子B(动压管)接在U形管压强计上，据U形管两边的液柱的高度差便可求出气体的流速。

设气体稳定流动的速度是v，气体的密度是0，压强计内液体的密度是0，在管A上小孔处气体的压强是pA，管B中气体的压强是pB，管B中气体因受管里流体的阻碍，它的流速等于0，由于管A与管B的端口均在同一高度上且气体的同一流线上，据伯努利方程得

pA

v2

2

pB0

故 pBpA

v2

2

.

根据U形管两边的高度差h，可求出两管中的气体的压强差为

pBpA0gh 由以上各式得v20gh/

因此，测量出h就可以求出气流的速度．

(1)液流和气流的空吸作用

如下图所示，若在水平管的细颈处开一小孔A，用细管接入容器B中容器内，流动液体不但不会流出，而且容器B中液体可以被吸上去，为研究此原理，做如下推导：

设左上方容器E很大，流体流动时，液面无显著下降，液面与出液孔的高度差为h，

SA和SF分别表示水平管上小孔A与出液孔F处的横截面积，用表示液体的密度，设液体为理想流体，取容器E中液面上的点C和水平管上小孔A以及出液孔F处的水作为研究对象，据伯努利方程，得到：

1122

PCghpAvApFvF

22

又因为PCPFP0代入上式得到

vF2gh pAP0

122(FvA) 2

据流体在水平管中做稳定流动时，管中各处的流量QvSt不变，有:由上述几式综合得到SFSA．则

vFSA



vASF

S1

A0gh(1F2)0

2SA

即小孔C处有一定的真空度，因此可将B中液体吸入，这种现象叫做空吸作用．

不但液流有空吸作用，气流也同样有空吸作用，所遵循的规律也相同，空吸作用的应用很广，化学实验室中的水流抽气机、内燃机的汽化器、蒸汽锅加水所用的射水器是根据这个原理制成的．

伯努利效应

1726年，伯努利通过无数次实验，发现了“边界层表面效应”：流体速度加快时,物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力会增加。为纪念这位科学家的贡献，这一发现被称为“伯努利效应”。伯努利效应适用于包括气体在内的一切流体,是流体作稳定流动时的基本现象之一，反映出流体的压强与流速的关系，流速与压强的关系：流体的流速越大，压强越小；流体的流速越小，压强越大。

比如，管道内有一稳定流动的流体，在管道不同截面处的竖直开口细管内的液柱的高度不同，表明在稳定流动中，流速大的地方压强小，流速小的地方压强大。这一现象称为“伯努利效应”,伯努利方程：p

2

1

常量。 2

2pv

在列车站台上都划有安全线。这是由于列车高速驶来时，靠近列车车厢的空气将被带动而运动起来，压强就减小，站台上的旅客若离列车过近，旅客身体前后出现明显压强差，将使旅客被吸向列车而受伤害。

伯努利效应的应用举例：飞机机翼、 喷雾器、汽油发动机的汽化器、球类比赛中的旋转球。

4.2 伯努利方程在医学中的应用

伯努利﹒尼尔学习医学是在父亲的要求之下接受的，学习期间的主要心思也没有花在医学上，而是花在了数学的爱好上，但是丹尼尔并没有弃医学于不顾，而是认真学习，也有不菲的成就。1921年，他的博士论文《植物的呼吸》就是关于呼吸力学的综合理论。 曾在1728年，已经是彼得堡科学院生理学院士和数学院士的他，发表了关于肌肉收缩的力学理论的论文，在这篇论文中提出了心脏所作机械功的计算方法，这其实也是一个在物理学上的成就。生理学院士这个头衔远远落后与数学院士这个头衔。也不难理解，虽然他起初成了一名外科大夫，但最终成为欧洲历史上伟大的数学家和物理学家。

总 结

伯努利家族是真正伟大的家族，几世几代的杰出贡献，将以不灭的光辉照亮数学与人类文明,他们又是真正神秘的家族，他们中的大多数数学家，并非有意选择数学为职业，然而却忘情地沉溺于数学之中，有人调侃他们就像酒鬼碰到了烈酒。伯努利家族已化为一颗永恒的明星，闪亮在数学与人类文明的长河之上。

谢 辞

“不积跬步无以至千里”，这次毕业论文能够最终顺利完成，归功于指导老师马云老师认真负责，使我能够很好的掌握专业知识，并在毕业论文中得以体现。也正是您长期不懈的支持和帮助才使得我的毕业论文最终顺利完成。

感谢两年来泰州学院的所有老师对我的关心和帮助，同时感谢两年来在生活、学习上给予我众多帮助的同学们！

我还要把深深的感谢之情献给我的家人以及好友，感谢他们在我学习期间给予了我巨大的支持和鼓励，使我可以全身心地投入到学习和工作中．正是他们给予我的精神支持和生活帮助，使我能够顺利完成本论文，谨以此文作为向他们的献礼！

最后，对审阅本论文的各位老师表示衷心的感谢！

参考文献

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