1.已知复数z 满足z +i -3=3-i ,则z 等于
( ) .
A .0 C .6
解析 z =3-i -(i-3) =6-2i. 答案 D
B .2i D .6-2i
2.A ,B 分别是复数z 1,z 2在复平面内对应的点,O 是原点,若|z 1+z 2|=|z 1-z 2|,则三角形AOB 一定是
( ) .
A .等腰三角形 C .等边三角形
B .直角三角形 D .等腰直角三角形 →→
解析 根据复数加(减) 法的几何意义,知以OA ,OB 为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB 为直角三角形. 答案 B
3.已知z 1=2+i ,z 2=1+2i ,则复数z =z 2-z 1对应的点位于
( ) .
A .第一象限 C .第三象限
B .第二象限 D .第四象限
解析 z =z 2-z 1=(1+2i) -(2+i) =-1+i ,实部小于零,虚部大于零,故位于第二象限. 答案 B
1
4.若z 1=2-i ,z 22i ,则z 1,z 2在复平面上所对应的点为Z 1、Z 2,这两点之间的距
2离为________.
→
解析 |Z 1Z 2|= 答案
61 2
3
a +(a +1)i ,z 2=-33b +(b +2)i(a ,b ∈R ) ,若z 1-z 2=43,则a +b =2
⎛2+1⎫2+-1- 2⎪⎝⎭
2
=
61
2
5.已知z 1=
________. 解析 ∵z 1-z 2=43,
3⎛3⎫
a +(a +1)i -[-3b +(b +2)i]= a +33b ⎪+(a -b -1)i =2⎝2⎭
⎧⎪3a +33b =43,
由复数相等的条件知⎨2
⎪⎩a -b -1=0,
∴a +b =3. 答案 3
解得⎨
⎧a =2,⎪⎪⎩b =1.
6.已知z ,ω为复数,(1+3i) z 为纯虚数,ω,且|ω|=2,求ω.
2+i
解 设z =a +b i(a ,b ∈R ) ,则(1+3i) z =a -3b +(3a +b )i ,由题意得a =3b ≠0. ∵|ω|=⎪
z
⎪z =2,
⎪2+i ⎪
2
2
∴|z |a +b =510, 将a =3b 代入上式,得⎨
⎧⎪a =15,⎪⎩b =5,
或⎨
⎧⎪a =-15,⎪⎩b =-5.
15+5i
故ω=±(7-i) .
2+i
综合提高
限时25分钟
7.设z ∈C ,且|z +1|-|z -i|=0,则|z +i|的最小值为
( ) .
A .0 C. 2 2
B .1 1D. 2
解析 由|z +1|=|z -i|知,在复平面内,复数z 对应的点的轨迹是以(-1,0) 和(0,1)为端点的线段的垂直平分线,即直线y =-x ,而|z +i|表示直线y =-x 上的点到点(0,-1) 的距离,其最小值等于点(0,-1) 到直线y =-x 的距离.答案 C
8.复数z 1、z 2分别对应复平面内的点M 1、M 2,且|z 1+z 2|=|z 1-z 2|,线段M 1M 2的中点M 对应的复数为4+3i ,则|z 1|+|z 2|等于
( ) .
A .10 B.25 C.100 D.200
→
→
解析 根据复数加减法的几何意义,由|z 1+z 2|=|z 1-z 2|知,以OM 1、OM 2为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等) ,即∠M 1OM 2为直角,M 是斜边M 1M 2的中点,
2
2
→
22
∵|O M |4+3=5,
∴|M 1M 2|=10.
→
2
2
2
→
2
→
2
∴|z 1|+|z 2|=|OM 1|+|OM 2|=|M 1M 2|=100. 答案 C
9.在平行四边形OABC 中,各顶点对应的复数分别为z O =0,z A =2,z B =-2a +3i ,z C
2=-b +a i ,则实数a -b 为________.
a
2-b =-2a ,⎧⎪
解析 因为OA +OC =OB ,所以2+i +(-b +a i) =-2a +3i ,所以⎨a
2a =3,⎪⎩2
→→
→
a
得a -b =-4. 答案 -4
10.复数z =x +y i(x ,y ∈R ) 满足条件|z -4i|=|z +2|,则2+4的最小值为________.
解析 方程|z -4i|=|z +2|表示线段Z 1Z 2(Z 1(0,4)、Z 2(-2,0)) 的中垂线, 易求其方程为x +2y =3. ∴2+4=2+22²2=2=22=2. 当且仅当2=2, 即x =2y 且x +2y =3,
33
即x =,y =42.
24答案 2
x
2y
3
x y
x y x 2y
m 2+m
11.设m ∈R ,复数z 1(m -15)i ,z 2=-2+m (m -3)i ,若z 1+z 2是虚数,求m 的取
m +2
值范围.
m 2+m
解 因为z 1=+(m -15)i ,
m +2z 2=-2+m (m -3)i ,
⎛m +m 2⎫+[(m -15) +m (m -3)]i
所以z 1+z 2= ⎪
⎝m +2⎭
m 2-m -42=+(m -2m -15)i.
m +2
因为z 1+z 2是虚数,
2
所以m -2m -15≠0且m ≠-2, 所以m ≠5且m ≠-3且m ≠-2, 所以m 的取值范围是
(-∞,-3) ∪(-3,-2) ∪(-2,5) ∪(5,+∞).
12.设z 1、z 2∈C ,已知|z 1|=|z 2|=1,|z 1+z 2|2,求|z 1-z 2|.
解 法一 设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R ) ,由题设知a +b =1,c +d =1,(a +c ) +(b +d ) =2,
又由(a +c ) +(b +d ) =a +2ac +c +b +2bd +d ,可得2ac +2bd =0. |z 1-z 2|=(a -c ) +(b -d ) =a +c +b +d -(2ac +2bd ) =2, ∴|z 1-z 2|2.
法二 ∵|z 1+z 2|+|z 1-z 2|=2(|z 1|+|z 2|) , ∴将已知数值代入,可得|z 1-z 2|=2, ∴|z 1-z 2|2.
→
→
法三 作出z 1、z 2对应的向量OZ 1、OZ 2,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
→
使OZ 1+OZ 2=O Z .
→
→
→
→
→
→
∵|z 1|=|z 2|=1,又OZ 1、OZ 2不共线(若OZ 1、OZ 2共线,则|z 1+z 2|=2或0与题设矛盾) , ∴平行四边形OZ 1ZZ 2为菱形. 又∵|z 1+z 2|2, ∴∠Z 1OZ 2=90°, 即四边形OZ 1ZZ 2为正方形, 故|z 1-z 2|2.
1.(1-2i)(3+4i)(-2+i) 等于
( ) .
A .20+15i C .-20-15i
B .20-15i D .-20+15i
解析 (1-2i)(3+4i)(-2+i) =(3+4i -6i +8)(-2+i) =(11-2i)(-2+i) =-22+11i +4i +2=-20+15i. 答案 D
2.(1+i) -(1-i) 的值是
( ) .
A .-1 024
B .1 024
20
20
C .0
20
20
D .512
210
210
解析 (1+i) -(1-i) =[(1+i) ]-[(1-i) ]= (2i)-(-2i) =(2i)-(2i)=0. 答案 C -133.
+
36
10
10
10
10
-2+i 的值是 1+2i
( ) .
A .0 B.1 C.i D.2i
-1+3
23++]
3
解析 原式==2i ,故选D. 答案 D
-2+
+
=
⎛-1
3i ⎫3 2³⎪
2⎝⎭
3
+
-2+
-2+i 1+i
i
4.设复数z =1+2i ,则z -2z =________.
解析 ∵z =1+2i
∴z -2z =z (z -2) =(1+2i)(12i -2) =(1+2i)(-12i) =-3. 答案 -3
5.若z 1=a +2i ,z 2=3-4i ,且为纯虚数,则实数a 的值为________.
解析
2
2
z 1z 2
z 1a +2i a ++=z 23-4i 9+16a -
+
25
3a +4a i +6i -825
=
a +
⎧⎪3a -8=0,,∴⎨
⎪4a +6≠0,⎩
8
∴a 3
8答案
36.计算(1)
⎛1+i 6+2+3i
⎝1-i ⎭3-2i
3⎫4⎛1
(2) +⎪. ⎝22⎭解 (1)原式=i =-1+i.
3⎫2⎤2⎛13⎫2⎡⎛1
(2)法一 原式=⎢ i ⎪⎥= -i ⎪
⎣⎝22⎭⎦⎝22⎭
6
233-2
=i 2
2+32+3i
13
=-i.
223⎫3⎛1
法二 ∵ -⎪=1,
⎝22⎭
3⎫4⎛13⎫3⎛13⎫⎛1
∴原式= -⎪= -i ⎪ -⎪
⎝22⎭⎝22⎭⎝22⎭13 =-i.
22
综合提高
-
7.复数z 满足(1+2i) z =4+3i ,那么z =
( ) .
A .2+i C .1+2i
4+3i 4+3i
解析 z 1+2i 1+2i ∴z =2+i. 答案 A
1-3i 1
8.若x =,那么2=
2x -x
( ) .
A .-2 B.-1 C.1+3i D.1 解析 ∵x -x =x (x -1) =i)(1+3i) =-1, 所以
1
=-1,故选B. x -x
2
2
限时25分钟
B .2-i D .1-2i
1-2i 1
=(10-5i) =2-i ,
1-2i 5
-
13i ⎛13i ⎫1-3i -1-3i 1
. ²=-(1-31⎪=2224⎝2⎭
答案 B
9.对任意复数z =x +y i(x ,y ∈R ) ,i 为虚数单位,则下列结论正确的是________.
①|z -z |=2y ;②z =x +y ; ③|z -z |≥2x ;④|z |≤|x |+|y |.
解析 ∵z =x -y i(x ,y ∈R ) ,|z -z |=|x +y i -x +y i|=|2y i|=|2y |,∴①不正确;对于②,z =x -y +2xy i ,故不正确;∵|z -z |=|2y |≥2x 不一定成立,∴③不正确;对于④,|z |=x +y ≤|x |+|y |,故④正确.
2
2
22
2
2
答案 ④
⎛11⎫10.设f (z +i) =1-z ,z 1=1+i ,z 2=1-i ,则f ⎪=________.
⎝z 1z 2⎭
解析 令z +i =t ,得z =t -i ,
-
-
f (t ) =1-(t -i ) =1-i -t ,
111
++z 1z 21+i 1-i 1
1-i +1+i +
-
2
1. 2
⎛11⎫∴f ⎪=f (1)=1-i -1=-i. ⎝z 1z 2⎭
答案 -i 11.复数z =
2
+
+
2+i
2
2
-
z +
2
a z
解 由z
a z a z
z =
+
+2+i
2
-
=
2i +3-3i 3-i
=1-i.
2+i 2+i
∵a 为纯虚数,∴设a =m i(m ≠0),则
a m i m i -m
z 2+(1-i) 2+=-2i +
z 1-i 2
⎛⎫=- -2⎪i
m -,⎧⎪2∴⎨m ⎪⎩2-2=0,
m m
32
∴m =4,∴a =4i.
12.复数z +a +b
-
且|z |=4,z 对应的点在第一象限,若复数0,z ,z 对应
1-i
的点是正三角形的三个顶点,求实数a 、b 的值. 解 z =
+
+
1-i
a +b i)
=2i²i(a +b i) =-2a -2b i. 由|z |=4,得a +b =4,
-
∵复数0,z ,z 对应的点构成正三角形,
2
2
①
-∴|z -z |=|z |.
把z =-2a -2b i 代入化简得|b |=1. 又∵z 对应的点在第一象限,∴a
②
⎧a =-3,
⎩b =-1.
故所求值为a 3,b =-1