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2002年3月河 北 工 程 技 术 高 等 专 科 学 校 学 报M ar. 2002
第1期JOURNAL OF HEBEI ENGINE ERING AND TECHNICAL COLLE GE No. 1
文章编号:1008-3782(2002) 01-0049-03
常数变易法的使用
田 飞, 王洪林
(河北工程技术高等专科学校基础部, 河北沧州 061001)
摘要:二阶线性微分方程和Ber noulli 方程的常数变易解法。关键词:常数变易法; 二阶线性微分方程; Ber noulli 方程中图分类号:O 175 文献标识码:A
1 二阶线性非齐次微分方程的常数变易解法
常数变易法不只是在求一阶线性非齐次微分方程的解时使用。实际上, 求各阶线性非齐次微分方程的解时, 都可使用。下面以二阶常系数线性非齐次方程为例做介绍。设二阶常系数线性非齐次微分方程
y ″+Py ′+qy =f (x )
出。则令方程(1) 的解为
y =u 1y 1+u 2y 2
其中u 1、u 2为待定函数。为确定这两个待定函数, 再补充一个条件
u 1y 1+u 2y 2=0
把(2) 代入(1) , 并利用(3) 式及(3) 的导数式化简得u 1y 1+u 2y 2=f (x ) , 它与(3) 式组成方程组
u 1y 1+u 2y 2=0
′′′
u ′1y 1+u 2y 2=f (x ) ′
′
′′
′′
′
′
(1)
所对应的齐次微分方程y ″+py ′+qy =0的通解是y =c 1y 1+c 2y 2, 其中C 1、C 2为任意常数, y 1、y 2已经求
(2) (3)
(4)
因为y 1、y 2线性无关, 所以(4) 式的系数行列式
W (x ) =
′
由(4) 式可唯一求出u ′1和u 2, 即
y 1 y 2y 1 y 2
′
′
≠0。
所以
2, w (x ) y 1f (x ) ′
u 2=-, w (x ) y 2f (x )
1u 1=-w (x ) d x +C ,
u ′1=-
u =-d x +
w (x )
2
1
C 2,
代入(2) 式就得到方程(1) 的通解
y =c 1y 1+c 2y 2-y 1
例1 求方程y ″+4y =的通解。
cos2x
收稿日期:2001-06-10
) , 男, , 21d x +y 2d x 。w (x ) w (x )
50
河 北 工 程 技 术 高 等 专 科 学 校 学 报 2002年
解 所对应的齐次方程y ″+4y =0的通解为
y =C 1sin2x +C 2cos2x 。
′
所以, 令原方程的解为y =u 1sin 2x +u 2co s 2x , 且设u ′1sin 2x +u 2co s 2x =0代入原方程得
′
u ′1sin2x +u 2co s2x =0′2u ′1cos2x -2u 2sin2x =
cos2x
由此解出
u ′1=
, 2
tan2x 。u ′2=-2
积分得
u 1=
x +C 1, 2
u 2=-4ln(cos2x ) +C 2。
代入y =u 1sin2x +u 2cos2x 得原方程通解为
y =C 1sin2x +C 2co s2x +
X sin2x -ln(cos2x ) cos2x 。
24
2 非线性微分方程的常数变易解法
个别非线性微分方程, 可用常数变易法试解。下面介绍两种。1) Berno ulli 方程
y ′+p (x ) y =Q (x ) y
(5)
p (x ) d x P (x ) d x
假如Q (x ) ≡0, 方程y ′+P (x ) y =0的通解为y =ce -∫, 做试探性假设, 设(5) 的解为y =u (x ) e -∫代入(5) 得到待定函数u (x ) , 满足:
u e ∫
分离变量, 再积分得
′-P (x )d x
- p (x ) d x
=Q (x ) u e ∫,
p (x ) d x
, u (x ) =〔(1- ) Q (x ) e (1- ) ∫d x +c p (x ) dx
代入y =u (x ) e -∫中就得到(5) 的通解
) p (x ) d x p (x ) d x
∫d x +c y =〔(1- ) Q (x ) e (1- e -∫。
∫
∫
可见, 用常数变易法解Bernoulli 方程比常规解法简捷。
形如
n
y +p (x ) y =
′
∑Q (x ) y
i
i =1
i
(6)
- i p (x ) d x
的方程(含Bernoulli 方程) 。如果 i 为有理数, 且函数组Q i (x ) e ∫(i =1, 2, …, n ) 可表为
i p (x ) d x
∫Q i (x ) e - ≡k i f (x ) (i =1, 2, …, n ) ,
其中k i (i =1, 2, …, n ) 为常数。
则方程(6) 可用常数变易法求解。令(6) 的解为y =u (x ) e ∫
-p (x ) d x
代入方程(6) 得n
′-p (x ) d x
i
i = i - i p (x ) d x
第1期 田 飞等:常数变易法的使用
n
51
=
k u ∑〔
i
i =1
i
〕f (x ) 。
p (x ) d x
分离变量, 积分解出u (x ) , 就得到了原方程的通解y =u (x ) e -∫。
24例2 求方程y ′-x y =y sin x +y 的通解。
x
′解 方程y -x y =0的通解为y =cx , 所以, 令原方程通解为y =ux , 代入方程得
x u ′=u 2x 2sin x +u 4x 4x 即
两边积分得
+arctan u =x cos x -sin x +c 。u
再由y =ux , 即u =y /x 代入上式得原方程的通解(隐式形式) 为
+ar ctan y x =x cos x -sin x +c 。
2) 形如y ′+p (x ) e y =Q (x ) 的方程求解。
在这种方程中, 如果没有自由项Q (x ) , 则方程y ′+p (x ) e y =0的通解为y =-ln 〔p (x ) d x +c 〕, 做试探性假设, 设原方程的解为y =-ln 〔p (x ) d x +u (x ) 〕, 代入原方程化简后得
u ′+Q (x ) u =-Q (x ) p (x ) d x 。
由此解u 后, 便得原方程的通解
Q d x Q d x
∫y =-ln 〔p d x -e -∫(Q (p d x ) e d x +c ) 〕
=(u +u ) x sin x 。
d u =x sin x d x 。u (u +1)
242
∫
∫
∫
∫∫
例3 求y +e cos x =(sin x +u ) , 代入方程得
的通解。x
解 先解方程y ′+e y cos x =0, 它的解是e -y =sin x +c 或y =-ln (sin x +c ) 。可令原方程的解为y =-ln
′
y
=sin x +u x 。
即得
u ′+
u =-sin x 。
x x
′
d x sin x e x 〔-d x +c 〕u =e -x
∫=〔-sin x d x +x ∫
=
(cos x +c ) 。x
c 〕
所以原方程的通解为
y =-ln(sin x +
co s x +) 。x x
参 考 文 献
[1] 四川大学数学系. 高等数学[M ]. 北京:人民教育出版社, 1979.
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