范文无忧网解三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一.正弦定理：
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等
abc===2R（其中R是三角形外接圆的于外接圆的直径，即 sinAsinBsinC
半径）
a+b+cabc===2.变形：1）． sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC
2）化边为角：a:b:c=sinA:sinB:sinC； asinAbsinBasinA=; =; =; bsinBcsinCcsinC
3）化边为角：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
sinAasinBbsinAa=; =;=; sinBbsinCcsinCc
abc,sinB=,sinC= 5）化角为边： sinA= 2R2R2R
二.三角形面积
111S∆ABC=absinC=bcsinA=acsinB 222
三.余弦定理
1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即 4）化角为边：
a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
c2=a2+b2-2abcosC
b2+c2-a2
2.变形：cosA= 2bc
a2+c2-b2
cosB= 2ac
a2+b2-c2
cosC= 2ab
注意整体代入，如：a2+c2-b2=ac⇒cosB=
1 2
一、选择题（题型注释）
1．设∆ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这
个三角形的形状是 （ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
2．已知∆ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且a2-c2+b2=ab，则角C 等于 （ ）
3．在∆ABCB=
A.30o B.45o C.120
D.135
4．已知△ABC中，a＝4，b＝A＝30°，则∠B等于( )
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
5．在∆ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则∆ABC
的形状是（ ）
A.等腰三角形 B.
直角三角形 C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形 6．设
的内角，
，
的对边分别为
，，．若，，，且A．，则（ ） D． B． C．
7．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D
．等腰直角三角形
8．在∆ABC 中，a=2A=30 , 则B =（ ）
A．60 B．60或 120
C．30 D．30或150
︒29．在∆ABC中，B=60，b=ac，则此三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
10．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知a=7，c=5，则
值是 sinA的sinC
7575 B． C．± D． 571212
11．在△ABC中，a=2，A=30︒， C=135︒，则边c= A．
A．1 B．2 C
．
．12．在△ABC 中，a2=b2+c2+bc ，则A等于 （ ）
A．60° B．120° C．30° D． 150°
13．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若
则c等于( )
14．在△ABC中
则sinB等于( )
15．在∆
ABCA等于
A．30° B．60°
C．60°或120° D．30°或150
16．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则AC的取值范围是( )．
A．[－2,2] B．[0,2] C．(0,2] D．
17．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
则∠C=( )
A
18．在△ABCABC是（ ） B．等腰直角三角形
D．等边三角形 A．有一内角为30°的直角三角形 C．有一内角为30°的等腰三角形
19．在∆ABC中，若c=2acosB，则∆ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
20
．在△ABC
cosC等于（ ）
二、填空题（题型注释）
21．已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之积等于两根之和，且a,b为∆ABC的两边，A,B为两内角，则∆ABC的形状为______
C的对边分别是a、b、c，a=1B、∠A=30 ，22
．已知∆ABC中，内角A、则b等于__________.
23．在△ABC
处时测得公路北侧一山顶D的方向上，仰处，测得此山顶在西偏北24．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到在西偏北角为的方向上，行驶600m后到达________m
． ，则此山的高度
25．已知△ABC中，a=
2c=
1
2C所对的边分别是a，b，c．b+b2-c26．已知∆ABC的内角A、B、若a2+a=0，则角C的大小是 .
27．若海上有A、B、C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC
＝75°，则B、C间的距离是________海里．
28．在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为a、b，若2asinB
于________．
29．△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若a2-c2=b,且b=3ccosA，则b= .
30．在∆
ABC，则角A等31．在∆ABC 32．在钝角∆ABC中角A，B，C的对边分别是a
大边c的取值范围是_________. ,b,c， 若a=2 ，b=3，则最33．∆ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若sinA,sinB,
sinC成等比数列，且c=2a，则cosB=_____________________
34．在△ABC中，b=3，c=535．若∆ABC
三、解答题（题型注释）
C=__________.
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若
c=，求△ABC的面积．
37．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，C．已知3cos（B－C）－1＝6cosBcosC．
（1）求cosA；
（2）若a＝3，△ABC
b和c．
38．已知a,b,c分别为∆ABC三个内角A,B,C
(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)若a=2，∆
ABCb,c。
39．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，
（Ⅰ）求角B的大小；
ABC的面积.
参考答案
1．C
【解析】 试题分析：2B=A+C,B=600,根据正弦定理，sin2B=sinAsinC=b2=ac，所以再根据余弦定2理b2=a2+c2-2accos600⇔ac=a2+c2-ac⇔a2+c2-2ac=0⇔(a-c)=0，即a=c，又B=600，所以这个三角形是等边三角形，故选C.
考点：正余弦定理
2．A
【解析】
C等于600，故选A. 考点：余弦定理
3．B
【解析】
考点：正弦定理解三角形
4．D
【解析】
试题分析：
o
所以B=60o或120，因为b>a，所以B>A，因此都符合题意，故选D.
考点：正弦定理.
5．D
【解析】
22试题分析：由atanB=btanA变形
为∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或∴2A+2B=180 ∴A=B或A+B=90
，三角形为等腰三角形或直角三角形
考点：正弦定理，三角函数公式
6．B
【解析】
考点：余弦定理
7．B
【解析】∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc，即[(b+c)+a][(b+c)-a]=3bc，∴(b+c)2-a2=3bc，b2-bc+c2=a2,根据余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA，∴b2-bc+c2=a2=b2+c2-2bccosA，即bc=2bccosA，
∵0
sinA=
2sinBcosC∴A=60，又由2222可得a=a+b-c，即b=c，∴△ABC是等边三角形，故选B．
8．B
【解析】
120 考点：正弦定理解三角形
9．D
【解析】
22222试题分析：由余弦定理得：b=a+c-2accosB=a+c-ac，
2又b=ac，
22∴a+c-ac=ac，
2∴（a-c）=0，
∴a=c，
∴A=B=C=60°，
∴△ABC的形状是等边三角形
考点：余弦定理
10．A
【解析】
试题分析：由正弦定理
考点：正弦定理
11．C
【解析】
试题分析：由正弦定理，
考点：正弦定理
12．B
【解析】
试题分析：根据
a=b+c-2bccosA,222acsinAa7=== 可得sinAsinCsinCc5ac2c=⇒=⇒c=22 sinAsinCsin30sin135所以A=120︒.
考点：余弦定理.
13．B
【解析】由正弦定理,
∵
∵sinA≠0,
∴
∴
故选B.
14．B
故选B.
15．C
【解析】
A=60°或120°.
考点：正弦定理.
16．D
A
AC＝2cos A.
∵A
．
17
．C
【解析】
试题分析：因为
，所以，b
0
考点：余弦定理。
18．B
所
以 a
【解析】
△ABC为等腰直角三角形 考点：正弦定理
19．B
【解析】
所以三角形为等腰三角形
考点：余弦定理解三角形
20．D
【解析】
试题分析：根据正弦定理sinA:sinB:sinC=a:b:c，所以不妨设a=2k,b=3k,
c=4k(k>0)
，则根2据余弦定理：D. 4
考点：1、正弦定理；2、余弦定理.
21．等腰三角形
【解析】
试题分析：由题意可得ac=oBs∴bcAo-sA()sB=三角形为等腰i，∴nAc-Bo
=三角形
考点：三角函数基本公式
22．1或2
【解析】
考点：余弦定理解三角形
23
．1
【解析】
考点：余弦定理解三角形
24
【解析】
试题分析：设此山高h（m），则
，
在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．
解得
m）
考点：解三角形的实际应用
25
【解析】
考点：1.余弦定理.
26
【解析】
试题分析：因为a2+ab+b2-c2=0，所以a2+b2-c2=-ab，由余弦定理可
得
C∈
(0,π) 考点：余弦定理.
27．
【解析】由正弦定理，知BCAB＝，解得BC＝
海里)． sin60︒sin（180︒－60︒－75︒）
28
【解析】
试题分析：因为2asinB
，所以2asinB
⇒2sinAsinBB
⇒sinA=⇒A=60︒或120︒，又由于△ABC为锐角三角形所以A=60°. 考点：正弦定理的应用.
29．3
【解析】
a2-c2=b, 所以，b(b-3)=0,b=3，故答案为3.
考点：余弦定理的应用
30
【解析】
考点：正弦定理
31
【解析】
试题分析：因为B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，
所以AB=2sinC，BC=2sinA．
所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120°-A）+4sinA
=2（sin120°cosA-cos120°sinA）+4sinA
（A+φ），
所以AB+2BC
考点：正弦定理解三角形及三角函数性质
32
【解析】
试题分析：因为角C是最大边，并且是角C是钝角，所以⎨
考点：余弦定理
33
⎧a+b>c⎧2+3>c，
⇔⎨2222⎩a+b
试题分析：若sinA,sinB,sinC成等比数列，所以sin2B=sinAsinC∴b2=
ac
考点：余弦定理及等比数列
34．7
【解析】
试题分析：由题意，由余弦定
理
a=7. 考点：1.余弦定理的应用.
35
【解析】
角C
考点：1.余弦定理；2.三角形的面积公式. 36．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用诱导公式cosC=-cos(A+B)可将问题转化为A,B两角的三角函数求解；
a
，∴
sinB=
． …………………6分
．由正弦定理知：
，∴，
=，又
A=，
试题解析：（Ⅰ）△ABC
中，∵∴=（Ⅱ）由（Ⅰ）知
∴
考点：正余弦定理解三角形
37．（1
． …………………12分 ⎧b=2⎧b=32）⎨ 或⎨ ⎩c=3⎩c=2
【解析】
试题分析：（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项，移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出cos（B+C）的值，将cosA用三角形的内角和定理及诱导公式变形后，将cos（B+C）的值代入即可求出cosA的值；（2）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入，得出bc=6，记作①，再由a及cosA的值，利用余弦定理列出关于b与c的关系式，记作②，联立①②即可求出b与c的值 试题解析：（1）由3cos（B－C）－1＝6cosBcosC
知3（cosBcosC＋sinBsinC）－1＝6cosBcosC，2分
3（cosBcosC－sinBsinC）＝－1，
A＋B＋C＝π，4分 ∴ cosA＝－cos（B＋C
6分 即cos（B＋C
（2）由0
又S△ABC＝
sinA
7分 ＝
∴ bc＝6． 8分
22222由余弦定理a＝b＋c－2bccosA，得b＋c＝13， ∴⎨⎧bc=6，10分 22⎩b+c=13
∴⎨⎧b=2⎧b=3 或⎨ 12分 c=3c=2⎩⎩
考点：余弦定理；诱导公式的作用；两角和与差的余弦函数；正弦定理
38．（1）60°；（2）b=c=2
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理得：
（2
a2=b2+c2-2bccosA⇔b+c=4 解得：b=c=2
考点：正弦定理、余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，三角形的面积。
点评：中档题，涉及三角形中的问题，往往需要边角转化，并运用和差倍半的三角函数进行化简。在边角转化的过程中，灵活选用正弦定理或余弦定理，需要认真审题，预测变形结果，以达到事半功倍的目的。
39．
（2
【解析】
试题分析：解：得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.…2分
得就是2sinAcosB+sin(B+C)=0 ４分 ∵A+B+C=π，∴sin(B+C)=sinA,∴2sinAcosB+sinA=0.
6分 8分 分 考点：解三角形
点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，求解三角形以及面积问题，属于基础题。