物理学中的混沌问题

物理学中的混沌问题

摘要 本文首先给出了混沌和与混沌相关的一些概念，简单叙述了混沌科学的发展史。指出混沌现象的核心在于对初始条件的敏感依赖性。然后以面包师变换为例，引出刻画混沌的李雅普诺夫指数，并给出另一个判断系统是否混沌的方法：庞加莱截面法。简要介绍电子混沌电路以及量子混沌问题，用原子核来研究量子混沌是一个很好的选择，并且介绍了一些混沌理论的应用。

关键词 非线性 混沌 刻画 量子混沌 应用

Abstract At first, this article proposes the chaos and chaotic related concepts,describes the chaotic history briefly , points out that the core of chaos phenomenon is sensitive dependence on the initial conditions.Then takes the baker transformation as an example, lead to the lyapunov index which is used to depict the chaos, and another method is given to determine whether a system is chaotic: poincare section method.Briefly introduces the electronic and chaotic circuit ,and the quantum chaos, using the nucleus to study the quantum chaos is a good choice, introduces some applications of chaos theory.

Keywords nonlinear chaos characterization Quantum chaos applications

一、引言

哲学家维特根斯坦在《逻辑哲学论》中说：“命题是世界的图像。”他着眼于命题系统与现实世界之间的相同点，认为二者从本质上讲具有共同的逻辑结构。然而两者实际上却有诸多的不同，经典的物理学命题为我们描绘了一个线性的确定性的世界，例如在一个动力学系统中，位移S=V0t+1/2at 2, 在这种情况下，只要知道初速度V 0, 我们就可以求得任意时间t 的位移S 。这在一定程度上导致人们将运动的确定性与运动的可预测性相混同，拉普拉斯因此而作出断言：如果有一个智者知道每一时刻所有物体之间的相互作用力和相对位置，并能对众多数据进行分析，那么未来一切事件都能精确预测。事实上，运动的确定性是一个数

学概念，表现为上面公式中时间与位移之间的函数关系。另一方面，运动的可预测性却是一个物理概念，它意味着人们能依据运动的初始状态数据和运动规律推算出任一未来时刻的运动状态。由于初始数据的测定不可能完全精确，加之现实中的运动过程不可能始终保持沿直线和加速度恒定，预测的结果难免存在误差。上面提到的运动当然遵循确定的牛顿动力学规律，却是不可预测的。现实世界与经典力学刻画的世界不同，它的本来面目是非线性的，复杂的。真实的动力学系统几乎全都是非线性系统，而混沌则是非线性系统最典型的行为，混沌理论所研究的是非线性动力学混沌，其目的是揭示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律，以求发现一大类复杂问题普遍遵循的共同规律。

严格来说，对混沌现象的研究，从一个世纪之前就开始了。早在一百多年前，玻尔兹曼在推导他著名的H 定理时，就曾提出过分子混沌假设。但那时“混沌”这个词只是被用来表示与宏观系统统计性质有关的无序特征。到了十九世纪末，庞加莱在研究三体问题的稳定性时发现，即使是只有两个自由度的保守系统也能作出难以想象的复杂运动，可以说他是认识到存在确定性混沌的第一位科学家，然而他的发现在当时并没有得到应有的重视。到了本世纪60年代，由于有了计算机，理论科学工作者开始采用数值方法来研究解析方法无法求解的某些简单非线性运动方程的性质。图形技术也有了长足的进步，人们得以理解和模拟出许多过去无从下手研究的复杂现象，计算机技术的发展对混沌理论的研究具有至关重要的作用，于是在70年代以后，出现了混沌科学的蓬勃发展时期。时至今日，混沌科学已经被称之为20世纪继相对论和量子力学之后的第三次科学革命，可以说是当之无愧的。

二、混沌是什么

要理解混沌的概念，首先要理解什么是非线性。非线性是与线性相对的概念，所谓线性，指的是简单的比例关系，而非线性则是对这种关系的偏离；另外，线性系统遵循叠加原理，而在非线性系统中，叠加原理不再成立，因为非线性关系是一种相互作用；最后，线性关系保持信号频率成分不变，而非线性使频率结构发生变化例如，我们令x(t)=sin(ωt), 对于y(t)=ax(t)而言，y(t)与x(t)具有相同的频率ω，但是对于y=a[x(t)]2由三角函数关系，可得y(t)=a a -cos2ωt, 22

出现了频率为0的直流项和频率为2ω的倍频项[1]。自然界中的诸多体系都可归

结为耗散系统和保守系统。对于耗散系统，当非线性达到一定程度，一般都会出现混沌运动；保守系统有可积与不可积之分，不可积的占绝大部分，而不可积性意味着混沌运动。

提到混沌，人们往往会立即联想到“蝴蝶效应”, 这一概念起源于气象学家洛伦兹二十世纪七十年代的一次演讲《可预报性：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能否在美国德克萨斯州产生一个陆龙卷？》，因为关于混沌理论的开创性研究，他被誉为“混沌之父”。到底什么是混沌呢？简单来说，混沌是一种确定系统中出现的无规则运动。人们对混沌的理解可以概括为三个本质特征，即“有界性”、“非周期性”和初始条件的敏感性。随着研究的不断深入, 人们又发现了混沌现象其他的特征，如奇怪吸引子，它是混沌理论中一个重要的概念[2]。在一个耗散系统中，存在由所有轨道的极限集以及从该集出发的轨道上所有的点所组成的集合，而吸引子就是其中不属于任何更大极限集且无轨道由其发出的极限集。一个吸引子包含无穷多曲线﹑曲面或更高维流形，它们常以相似的集合形式出现，集合任意两个成员又是分开的，这种吸引子就叫奇怪吸引子，奇怪吸引子是混沌的核心

[3]。马克思主义唯物辩证法认为，一切事物都遵循对立统一规律，自然科学中的许多概念都是对立统一，比如高等数学中的“极限”概念，它是连续性与间断性的统一。混沌也是如此，因为混沌系统指的是那些貌似随机而并非随机，遵循着确定规律的，敏感地依赖于初始条件的系统，可以说混沌是确定性与随机性的统一。

三、混沌的刻画

首先给出一个简单的混沌运动的例子，它被称作“面包师变换”。将一具有单位长度的线段先伸长一倍，然后在中点处折叠，使得左右两段合二为一，仍得到一单位长度线段。不断重复上述操作，就给出了该线段上所有点的一个离散的确定性运动。设线段上某一点初始坐标为x 0, 经n 次操作后坐标为, x n 则有x n +1=2x n , 当x n ≤1/2时；x n +1=2(1-x n ), 当x n ＞1/2时。一个简捷的，从初始坐标直接求出t=n时坐标的办法，是将写x 0成二进制数：x 0=0.a1a 2a 3„；a j =0或1. 为了从x 0的二进制表示得到的二进制表示，只需将表x 0式中的小数点往右

移动n 位，然后将小数点左边的值全部置0，当a n =0时有

x n =0.an +1a n +2„(1.2a),

当a n =1时有

x n =a n +1a n +2„（1.2b). 式中a 表示a 的对偶码。然而由1.2式提供的关于x 点运动的形式上的精确解，并不能保证我们能精确地预测点的运动。事实上，如果我们测得的点的初始位置在二进制下有n 位有效数字，经过n 次操作后，该点的实际位置将与测得的初始数据完全无关。在这种情况下，依据初始数据a 1, a 2, „, a n 预测t>n时的点的位置，无异于依据最初n 次掷币的结果预测第n+1次的结果。因此，尽管我们讨论的是一种确定性运动，它的长期行为却与随机运动没什么两样。这就是为什么人们把混沌称作确定性的貌似随机的运动的原因。

混沌运动所以表现出随机特性，其根本原因在于邻近轨道的指数型分离。换句话说，一个确定性运动是否混沌，与它附近轨道运动有密切关系。在面包师变换的例子中，如果给初始点的位置一个微扰δx 0, 则当n 不很大时，就有∣x n ∣=2n ∣x 0∣. 即原始误差随时间n 指数地增长。混沌的这一特征就是上面提到的对初始条件的敏感依赖性。较确切的术语是运动的指数型局部不稳定性。细致地描述动力系统的这种指数型局部不稳定性，需引进李雅普诺夫指数，它的定义可简单地叙述如下。设所讨论的动力系统的运动用m 维相空间中的一条轨道x(t),x∈R m 来描述。令x(t)+△x(t)表示任一相邻的运动轨道，则轨道x(t)的李雅普诺夫指数LE=lim t →∞x (t ) 1ln(lim ) . 李雅普诺夫指数LE 的物理意义很容易从t -t 0t →∞x (t 0)

近似关系式∣δx(t)∣≈∣δx(t0) ∣exp{(t-t0)LE}看出。需要注意的是（1.3）式中包含有双重极限运算，它使得李雅普诺夫指数的数学性质比凭直观想象的要复杂。下面列举LE 的三条性质：（i ）极限值LE 由轨道x(t)及初始微扰δx(t0) 的取向完全确定，而与t 0的选择无关；（ii ）当δx(t0) 取m 维相空间中所有不

同方向时，（1.3）式至多只能给出m 个不同的LE 值；（iii ）除非δx(t0) 落在某个确定的m-1维超平面内，（1.3）式给出的LE 值永远是m 个LE 之中最大的那一个。由此可知，m 维动力系统的李雅普诺夫指数实际上是由m 个数组成的李雅普诺夫指数谱。当谱中的最大李雅普诺夫指数为正时，运动便称作指数型局部不稳定的[4]。

除了运动的指数型局部不稳定外，混沌的动力学本质还能从其他角度来刻画。经常用到的另一种方法是庞加莱截面法，这是一种定性分析的方法。在多维相空间中取一坐标为常数的截面，通过研究相轨线与截面的交点分析系统的复杂动力学行为。我们知道混沌是与周期性相对的概念，如果一个系统既非周期的，也不是准周期的，那么它就是混沌的。在相空间中适当选一截面，它就是庞加莱截面，相空间的连续轨迹与截面形成一个交点集。如果系统做周期性运动，反映在庞加莱截面上就是n 个点；当系统做准周期运动，在截面上是一闭合曲线；当系统做混沌运动，在截面上是一些成片的具有分形结构的密集点。这样，通过分析庞加莱截面图，就能判断系统是否混沌。不过，庞加莱截面法通常是在已知动力学系统的条件下，作为区分周期、准周期与混沌的判据，一般情况下，混沌与完全随机运动在庞加莱截面上是不可区分的。

混沌电路在混沌动力学的研究中占有重要地位。能产生混沌行为的典型非线性常微分方程由三个独立变量的一阶微分方程组成，通过数学变换，可将三个一阶微分方程化成一个三阶微分方程，而这一方程是可以用电子电路来模拟的，至于微分运算，可以用运算放大器组成的有源积分电路来完成。当然不是所有方程都有混沌行为，一个用三阶微分方程描述的系统有三个李雅普诺夫指数λ1, 2, 3，能够产生混沌的条件是其中至少一个为正。一个简单跃变非线性函数的微分方程为 =-0. 5 -x +x -sgn(x ) ，以e 为底的李雅普诺夫指数分别为x x

λ1=0. 60, λ112=0, λ3=-1. 10，所以能够产生混沌。

电子混沌电路很容易实现各类非线性动力学体系，并且电子测量比其他物理量更为方便，采用示波器可直接获得被测量数据的图形，将数据采用计算机处理还可以计算出各类非线性动力学参数。

四、量子混沌

在认识到混沌在经典力学中的重要地位之后，人们很自然地会想到将确定性混沌的概念推广到量子力学中去。按照玻尔的对应原理，将量子力学应用到宏观运动上所得的结果，应该与经典力学的结果一致，故而力学系统的混沌特征，也必然要在其量子性质上有所表现。

将确定性混沌的概念推广到量子力学中去，首先遇到的问题是，什么是量子系统的确定性运动？由于有测不准原理，在量子力学里人们不可能像在经典力学里那样对系统的运动作确定性的相空间轨道描述。但是，按照目前普遍接受的对量子力学的理论解释，这种不确定性纯粹是由于测量过程中仪器与被测系统间不可控制的相互作用造成，它与系统随时间演化的动力学过程无关。因此，如果我们承认单个量子系统的状态能用波函数ψ做完全描述，而且只限于考虑由薛定谔方程描述的动力学过程，那么量子系统的运动仍可以看成是确定性运动。现在我们来看这种确定性运动是否能够具有混沌特征。设所讨论系统的运动由薛定谔方程描述，对有界保守系统来说，能级是离散的，故方程的一般解为ψ(t ) =∑C n Φn e x p -{itE n / }（2.2）。其中任一可观测量A 的期望值为

n ∧

*〈A 〉t =∑C n C m A nm exp{it (E n -E m ) / }.（2.3）由以上两式可知，无论是描述系统

n , m ∧

状态的波函数，还是可直接测量的力学量期望值，都随时间作准周期变化。由于在经典力学里准周期运动是典型的规则运动，故所有的有界保守量子系统都不可能有混沌特征。进一步的分析表明，在现有的量子力学框架里，一般来说并不存在满足经典混沌定义要求的量子混沌。然而上述结论并不意味着不可能存在更广泛意义上的量子混沌。事实上，我们总能选择适当的初始波包，使波包的量子运动在一段时间里与相应质点的经典运动一致。如果我们先让普朗克常数 趋于0（这时初始波包的尺寸也趋于0），再让时间t 趋于无穷，则从量子理论就能得出经典理论的全部结果。反之，若先让t 趋于无穷，再让 趋于0，则由于波包的无限扩散，量子理论与经典理论就会给出完全不同的结果。因此，有界量子系统虽然不能表现出长时间的混沌行为却仍能有短期的混沌行为。

量子混沌的研究不仅对量子力学发展产生了重大影响，而且使原子物理学这

一量子力学的古老分支重放异彩。原子核是一个有几十到几百个核子的真实量子体系，它比固体粒子数少而比某些微观体系粒子数多，正好承上启下，并且在核中的平均场﹑集体运动﹑直接相互作用等明显表现规则运动, 而统计谱﹑复合核反应﹑重离子深度非弹显示了混沌行为，因此用原子核来研究量子混沌是一个很好的选择。为了研究原子核中的混沌问题, 先来看一下sinai 台球模型。这个问题的经典图像是让一个质点限制在正方形边与放在中心的圆盘外缘之间作完全弹性反射运动。很容易看到初始相邻的一束轨道经过几次反射之后完全散开, 散布在整个组态空间。在经典上这叫作完全混沌。那么相应的量子情况如何呢？通过解具有相应边界条件( 即在正方形边和圆盘边上波函数为0 ) 的自由粒子的薛定谔方程。从计算出的能级得到相邻能级间距分布和 3分布, 令人吃惊的是这些

分布与GOE ( 高斯正交系统) 产生的分布完全相同。GOE 是E.Wigner 在1958年提出的无规矩阵模型的一种表示, 本来只是一个数学模型, 鉴于许多在经典上完全混沌的体系其相应的量子谱行为符合GOE , 使GOE 成为至今大多数人都承认的衡量量子体系是否混沌的标准。在前面我们讨论的台球模型, 其能谱性质符合GOE 结果, 这是关于量子混沌的最简单的例子[5]。不过总而言之, 量子混沌是一个充满问题和争议的领域。

五、混沌的应用

科学中任何纯理论学科发展到一定程度之后都要与技术结缘，转入这门学科的应用，混沌理论也不例外。混沌科学的应用关键在于混沌控制，简单来说，混沌控制就是在特定的微小扰动下将混沌系统引导到稳定的有序状态或期望的混沌状态。

混沌应用可分为混沌综合和混沌分析。前者利用人工产生的混沌从混沌动力学系统中获得可能的功能，如人工神经网络的联想记忆等；后者分析由复杂的人工和自然系统中获得的混沌信号并寻找隐藏的确定性规则，如时间序列数据的非线性确定性预测等。混沌的具体的潜在应用可概括如下：

a. 优化：利用混沌运动的随机性Z 遍历性和规律性寻找最优点，可用于系统辨识、最优参数设计等众多方面。

b. 神经网络：将混沌与神经网络相融合，使神经网络由最初的混沌状态逐渐

退化到一般的神经网络，利用中间过程混沌状态的动力学特性使神经网络逃离局部极小点，从而保证全局最优，可用于联想记忆、机器人的路径规划等。 c. 图像数据压缩：把复杂的图像数据用一组能产生混沌吸引子的简单动力学方程代替，这样只需记忆存储这一组动力学方程组的参数，其数据量比原始图像数据大大减少，从而实现了图像数据压缩。

d. 高速检索：利用混沌的遍历性可以进行检索，即在改变初值的同时，将要检索的数据和刚进入混沌状态的值相比较，检索出接近于待检索数据的状态。这种方法比随机检索或遗传算法具有更高的检索速度。

e. 非线性时间序列的预测：任何一个时间序列都可以看成是一个由非线性机制确定的输入输出系统，如果不规则的运动现象是一种混沌现象，则通过利用混沌现象的决策论非线性技术就能高精度地进行短期预测。

f. 模式识别：利用混沌轨迹对初始条件的敏感性，有可能使系统识别出只有微小区别的不同模式。

机械系统中混沌现象是普遍地存在的。目前对机械系统中混沌的研究仍处于初始阶段，即主要集中在发现混沌现象的阶段。研究机械系统中混沌的最终目的是分析其对机械系统的正面和负面影响, 进而采取相应的措施, 利用或抑制混沌。因而, 如何克服、控制机械系统中混沌带来的危害, 以及如何利用混沌提高机械系统的效率、降低系统的能耗, 将是未来机械工程研究的一个重要方向[6]。 在混沌控制范畴内有一个重要概念，即混沌同步，它是近年来非线性科学的热点研究领域，尤其在保密通信上具有广阔的应用前景。通信系统在非线性电路系统中，由于混沌信号具有内在随机性、非周期性、类似噪声等特征，所以特别适用于保密通信系统。使用混沌同步中的同调技术将混沌信号混合在数字信号与模拟信号中发射出去，可造成破译时的极度困难。利用混沌同步实现秘密通信是近年来竞争最激烈的应用研究领域，它对于国家安全具有至关重要的意义。 参考文献：

[1]: 郝柏林. 从抛物线谈起—混沌动力学引论[M]. 上海：上海科技教育出版社，1993

[2]: 陆同兴 张季谦. 非线性物理概论[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2010

[3]: E.N.洛伦兹. 混沌的本质[M].刘式达 刘式适 严中伟译. 北京：气象出版社，1997

[4]: 顾雁. 量子混沌[M].上海：上海科技教育出版社，1993

[5]: 吴锡真 卓益忠. 原子核与混沌问题[J].现代物理知识，1990，（4）

[6]: 唐巍 李殿璞 陈学允. 混沌理论及其应用研究[J].电力系统自动化, 2000, (7)