等价关系的另外两种定义

黔南民族师范学院学报2010年第3期

等价关系的另外两种定义

曹发生, 杨 楠12

(1. 毕节学院数学系逻辑#语言#认知研究中心, 贵州毕节 551700;

2. 黔南民族师范学院数学系, 贵州都匀 558000)

摘 要:等价关系是离散数学的一个重点知识, 具有自反性、对称性与传递性的关系是等价关系的定义。由经典教材的一个习题出发, 引入持续性和欧几里得性的定义, 得到关系的上述性质之间的联系。从而给出等价关系的其它两种定义。

关键词:等价关系; 自反性; 对称性; 传递性

中图分类号:O 158 文献标识码:A 文章编号:1674-2389(2010) 03-0001-03

Two Equiva lent Definitions of Equivalence R elati o n

CAO Fa-sheng , YANG Nan 12

(1. Dep. t , ofM athe m atics ; Center of Logic , Language and Cognition , B ijie Un i v ersity , B ijie 551700, China ;

2. Dep. t o fM ath , Q iannan Teachers Co llege for N ationaliti e s , Duyun 558000, China)

Abstract :Equ i val en ce rel ati ons are a foca lpoint of kno w l edge i n D iscreteM athe m atics , Th e rel ati on w ith t he refl ex i vity , s y mm etry and trans-i ti v i ty is an equ ivalence relati on. Th is arti cle introdu ces the d efi n iti on of conti nu it y properti es and Eucli d p roperti es of rel ations , and gives the rela -ti ons h i p of the properti es of these rel ations , anal yzi ng an exercise of t h e class i c m ateri als . Thereby it gives the t w o equ i va l en t defi n itions on equ i va -l en ce rel ati on .

K ey w ords :equ ivalence relati on; reflexi v i ty ; sy mm etry ; trans i ti vity

[1, 2]等价关系是离散数学课程的一个重点知识点, 等价关系在商集的形成上具有非常重要的作

[1, 2, 3][4, 5, 6]用。同余关系是一种等价关系, 在泛代数领域中有着非常重要的作用。

张禾瑞的近世代数教材[3]的30页有习题1如下:

有人说:假如集合A 上的一个二元关系R 满足对称性和传递性那么关系R 也满足自反性。他的推论方法是:因为R 满足对称性即有xRy v yRx, 因为R 满足传递性, 于是有(xRyC yRy ) v xRx, 那么关系R 也满足自反性。这个推论方法有什么错误?

本文引入持续性、欧几里得性的定义, 分析这个习题(下文称这个习题为习题1), 得到上述性质间的联系。从而给出等价关系的两种其它定义。

1 二元关系的各种性质的联系

二元关系及其具有的性质是本文的主要研究对象, 所以有必要叙述它们的定义。

定义1 设有两个集合A 和B, 定义A 和B 的笛卡尔积是:A @B ={(x , y ) |x I A, y I B }。笛卡尔积A @B 的一个子集R, 称为A 到B 的一个二元关系R 。特别地, 当A =B 时, 集合A 到B 集合的二元关系R 称为A 集合上的一个二元关系R 。

基金项目:贵州省教育厅自然科学基金:黔教科20090068; 毕节学院院级重点项目:20092015

收稿日期:2010-01-06

作者简介:曹发生(1977-), 男, 江西都昌人, 硕士, 讲师, 研究方向:泛代数.

黔南民族师范学院学报2010年第3期

注:下文出现形如xRy 是(x,y ) I R 的简单记法。

定义2 设R 是集合A 上的二元关系, 若对任意的x I A, 均有xRx, 则称R 具有自反性。

定义3 设R 是集合A 上的二元关系, 若有xRy v yRx 成立, 则称R 具有对称性。

定义4 设R 是集合A 上的二元关系, 若有(xRyC yRz ) v xR z 成立, 则称R 具有传递性。

习题1应当加些什么条件才可以有习题中的推理? 为了解决这个问题, 也为了给出关系的各种性质的联系, 本文要引入两种新性质的定义。

定义5 设R 是集合A 上的二元关系, 若对任意的x I A, 在A 中都存在y 使得xRy, 则称R 具有持续性。

定义6 设R 是集合A 上的二元关系, 若有(xRyC xRz ) v yR z 成立, 则称R 具有欧几里得性。为了给出本文的主要结论, 即等价关系的另外两种定义, 下面给出上述各种性质的联系。

定理1 若R 具有自反性则R 具有持续性。

证明 由R 具有自反性的定义得, 对任意的x I A, 均有xRx, 这就有对任意的x I A, 在A 中都存在y =x 使得xR y , 故R 具有持续性。

习题1中的推理分析如下:R 具有自反性的定义是要求对任意的x I A, 均有xRx, 习题的推理只是确保A 中满足xR y 的x 都有xRx 。但并不能确保对任意的x I A, 均有xRx 。而要得到这一点就要添加持续性, 于是便得下面的定理2。

定理2 若R 具有持续性、对称性和传递性则R 具有自反性。

证明 由R 具有持续性的定义得, 对任意的x I A, 在A 中都存在y 使得xRy, 由对称性得yRx 成立, 再由传递性得xRx 成立, 即对任意的x I A, 均有成立xRx, 故R 具有自反性。

定理3 若R 具有对称性和传递性则R 具有欧几里得性。

证明 设R 是集合A 上的二元关系, 若xRy 且xR z , 由R 具有对称性的定义得, 有yRx 成立, 再由R 具有传递性的定义得yRz 成立。即有(xRyC xRz ) v yRz 成立, 故R 具有欧几里得性。

定理4 若R 具有自反性和欧几里得性则R 具有对称性和传递性。

证明 设R 是集合A 上的二元关系, 若yRx 成立, 由R 具有自反性的定义得xR x 成立, 再由R 具有欧几里得yRx 性的定义得yRx 成立, 即有xRy v yRx 成立, 故R 具有对称性。

设R 是集合A 上的二元关系, R 具有自反性和欧几里得性, 若有xRy 且yRz 成立, 则由上面的对称性的证明得yRx 且yR z 成立, 再由R 具有欧几里得性的定义得xR z 成立, 即有(xR y C xRz ) v yRz 成立, 故R 具有传递性。

2 二元等价关系的等价定义

离散数学和近世代数的教材中对等价关系一般都定义如定义Ñ所述, 本文还将给出等价关系的另外两种定义, 即定义Ò和定义Ó。

定义Ñ 集合A 上的一个二元关系R 如果满足自反性、对称性和传递性, 那么称二元关系R 为A 上的等价关系。

定义Ò 集合A 上的一个二元关系R 如果满足持续性、对称性和传递性, 那么称二元关系R 为A 上的等价关系。

定义Ó 集合A 上的一个二元关系R 如果满足自反性和欧几里得性, 那么称二元关系R 为A 上的等价关系。2#

黔南民族师范学院学报2010年第3期

下面给出上述三种定义的等价性的证明。

证明 定义Ñ]定义Ò的证明为:设二元关系R 满足自反性、对称性和传递性, 由定理1得二元关系R 满足持续性, 于是二元关系R 满足持续性、对称性和传递性。

定义Ò]定义Ñ的证明为:设二元关系R 满足持续性、对称性和传递性, 由定理2得二元关系R 满足自反性, 于是二元关系R 满足自反性、对称性和传递性。

定义Ñ]定义Ó的证明为:设二元关系满足R 自反性、对称性和传递性, 由定理3得二元关系满R 足欧几里得性, 于是二元关系R 满足自反性和欧几里得性。

定义Ó]定义Ñ的证明为:设二元关系R 满足自反性和欧几里得性, 由定理4得二元关系R 满足对称性和传递性, 于是二元关系R 满足自反性、对称性和传递性。

综上所述得上述的三种定义等价。

参考文献:

[1]耿素云, 屈婉玲, 王捍贫. 离散数学教程[M ].北京:北京大学出版社, 2002.

[2]Bernard K o l m an , R obert C . Busby , Sharon Cu tler R oss . D i scre te M athem ca ti ca l Struct ures[M ].H i gher Educa ti on P ress , Pearson Educati on P ress , 2001.

[3]张禾瑞. 近世代数(第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2008.

[4]Stanley Burris , H. P Sankappanavar . A Course In U n i versa lA lgebra[M].N ew Y o rk :Spr i ng er V e rlag , 1981:1-276.

[5]G eorge G r . tzer . U n i versa l A lgebra[M].N ew Y o rk :Spr i nger V erlag , 1979:1-581.

[6]曹发生, 王驹, 蒋运承. 格L 的元与它的主同余的关系[J].西南大学(自然科学版), 2009(31) :87-91.