学年论文勾股定理

哈尔滨师范大学学 年 论 文题 学目 生勾股定理的表述及多种证明王永然 白薇 2007 级 数学系 数学与应用数学 数学科学学院指导教师 年 专 系 学 级 业 别 院哈尔滨师范大学2010 年 4 月 28 日论文提要勾股定理有十分悠久的历史， 几乎所有文明古国对此都有研究。 中华民族是最早了解和 发现勾股定理的民族之一。在中国最早的记载出现在《周髀算经》中。在国外，人们把勾股 定理称为毕达哥拉斯定理。有关勾股定理的发现问题，各民族都有不同的记载，根据不同的 理解，给出三种不同的表述。中国古代的教学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很 早就尝试对勾股定理作理论的证明。赵爽的证明可谓独具匠心，极富创新意识。他用几何图 形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性。为中国古代 以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。后来的 很多数学家继承了这一风格并且有所发展， 都是用以形证数的方法证明了勾股定理， 只是具 体图形的分合移补略有不同而已。 西方欧几里得的证明是纯几何式的逻辑演绎， 而婆什迦罗 的相似三角形证法和加菲尔德的梯形面积法证法则简单明了， 非常直观。 还有很多其它的证 明方法，也很好的证明了勾股定理。勾股定理的表述及多种证明王永然 摘 要:勾股定理是初等几何中的一个基本定理。本文简要叙述了勾股定理的来历和表 述方法， 并且详细的阐述了中国多位数学家运用几何图形割补法和数形结合的思想证明勾股 定理的方法，和外国不同数学家的逻辑推理法、相似三角形法、梯形面积法等证明勾股定量 的方法。 关键词: 关键词:勾股定理 几何图形割补法 数形结合 逻辑推理法 有关勾股定理的发现问题， 各国各民族都有不同的记载， 我们中华民族是最早了解和发 现勾股定理的民族之一。目前已知,勾股定理在中国最早的记载出现在《周髀算经》中。该 书卷上头记载了周公和商高的一段问答，商高指出夏代大禹治水时已经知道用“勾广三，股 修四，径隅五”的办法来构成直角三角形，“求斜至目者，以日下为勾，日高为股，勾股各 自乘，并以开方除之，得斜至日”。周公是约公元前1100年的人，商高是周朝时的大夫，而 夏禹治水是公元前21世纪的事。这段话出自商高之口，因而有人主张把勾股定理叫做“商高 定理”。至此，在我国经典著作中一般形式的勾股定理已明确地载人史册。在国外，人们把 勾股定理成为毕达哥拉斯(Pythagoras)定理。 相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯公 ， 元前550年首先发现的。其实，我国古代人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉 斯早得多。 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话， 那么周公与商高的对话则可以 确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕迭哥拉斯要早500多年。一、勾股定理的表述根据人们对这一定理的不同理解，对勾股定理至少有3种不同的表述。 第一种是我们初中几何教科书中的表述：“直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和，等于 斜边 c 的平方，即 a + b = c 。这里3条边 a 、 b 、 c 表示的是数，其平方也是数，定理讲2 2 2的是数与数之间的关系，并不考虑数的平方的几何意义，因而被“数的勾股定理”。 第二种是欧几里得《几何原本》中的表述：“在直角三角形中，直角所对边上的正方形 等于夹直角两边上的正方形。”这里讲的是纯几何图形之间的关系，完全不涉及数的问题。 所谓相等是指拼补相等， 即将直角边上的两个正方形剖分成若干块， 可以拼接成斜边上的大 正方形。所以这一表述被称为“形的勾股定理”。 第三种表述则是被称为“数形结合的勾股定理”。在面向公众的大型工具书《辞海》 中的表述是： “直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上的正方形面积之和”。图形 的面积是一个数， 定理讲一个数等于另外两个数的和， 但这些数是由直角三角形边上的正方 形来的，有几何意义。 二、勾股定理的证明 数学讲究严格论证， 任何结论都要经过逻辑推理一步一步证出来。 未加证明的论断只能 称为命题，经过严格证明以后才能叫定理。(一)中国数学家运用几何图形割补法和数形结合的思想证明勾股定理 1、赵爽的弦图法 在中国，三国时东吴数学家赵爽，他在为《周髀算经》所作的注释中涌现突发(并附有 五百余字的说明)证明了勾股定理。如图1，其中每个直角三角形称为“朱实”，中间的一个 小正方形叫做“黄实”，以弦为边的正方形 ABCD 叫“弦实”。四个朱实加一个黄实就等 于一个弦实。即 4 ×ab 2 + (a − b ) = c 2 ，化简后即得 c 2 = a 2 + b 2 。这个式子从三国时赵爽 2给出的弦图上看，直接形象地证明了勾股定理，这种证明法简洁明了，直观性强，国外类似 证法直到1150年才由印度数学家巴斯卡拉给出。 可以说， 我国对勾股定理的证明应该归功于 赵爽。现行初中课本对勾股定理的证明实际上是对赵爽弦图法的一个简化。 课本的证明如下，做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、 b ，为 斜边长 c ，再做三个边长分别为 a 、 b 、 c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。 从（图 2）上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b ，所以面积相等. 即 .1 1 2 2 2 a 2 + b 2 + 4 × ab = c 2 + 4 × 整理得 c = a + b .即证明了勾股定理。 2 2aba a b cDGCHb c b al'FbAEB图 1 图 2-1 图 2-2 2、魏晋数学家刘徽的证明方法 如（图 3），先将 ∆BEP 移到 ∆HMH 的位置，将 ∆KFN 移到 的 ∆ADP 位置，再将 ∆AGK 移 到 ∆BMH 的 位 置 ， 得 到 ： S 正方形BCDE + S正方形ACFG = S正方形ABHK 即BC 2 + AC 2 = AB 2 ,即证明了勾股定理。3、清代数学家梅文鼎的证明方法 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、 b ，斜边长为 c . 把它 们拼成如图那样的一个多边形，使 D 、 E 、 F 在一条直线 F 上. 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P . ∵ D 、 E 、 F . b a 在一条直线上, 且 Rt∆GEF ≌ Rt∆EBD , c G E ∴ ∠EGF = ∠BED ， P ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90° , ∠EGF + ∠GEF = 90° . b b ∴ ∠BED + ∠GEF = 90° , ∠BEG = 180° − 90° = 90° . c C c H 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为 D b a a c 的 正 方 形 . ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° . ∵ Rt∆ABC ≌ c A B Rt∆EBD ,∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° . 即 ∠CBD = 90° . 又 ∵ ∠BDE = 90° , ∠BCP = 90° ，BC = BD = a ∴ BDPC 是一个边长为 a 的正方形. 同理， . HPFG 是 一 个 边 长 为 b 的 正 方 形 . 设 多 边 形 GHCBE 的 面 积 为 S ， 则1 1 a 2 + b 2 = S + 2 × ab ， c 2 = S + 2 × ab 2 2a 2 + b 2 = c 2 ，即证明了勾股定理。4、清代数学家华蘅芳的证明 如（图 4），先将四边形 ABDP 移到四边形 QMHR 的位置，将四边形 AFGR 移到四边 形 BQNK 的 位 置 ， 再 把 ∆AEP 移 到 ∆MNK 的 位 置 ， 得 到 ：S 正方形ACGF + S正方形BCED = S正方形AHMB 即 AC 2 + BC 2 = AB 2 ，即证明了勾股定理。KB C E P D AB QDM N P C A E FHM N F K GR H G图 3 图 4 5、清代数学家杨作枚证明 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、 b （ b ＞ a ），斜边长 为 c . 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如（图5）所示的多边形. 过 A 作 . . AF ⊥ AC ， AF 交 GT 于 F ， AF 交 DT 于 R . 过 B 作 BP ⊥ AF ，垂足为 P . 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为 E ， DE 交 AF 于 H . ∵ ∠BAD = 90° ， ∠PAC = 90° ， ∴ ∠DAH = ∠BAC . 又∵ ∠DHA = 90° ， ∠BCA = 90° ， AD = AB = c ， ∴ Rt∆DHA ≌ Rt∆BCA .∴ DH = BC = a ， AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt∆APB ≌ Rt∆BCA . 即 PB = CA = b ， AP = a ，从而 PH = b − a . ∵ Rt∆DGT ≌ Rt∆BCA , Rt∆DHA ≌ Rt∆BCA . ∴ Rt∆DGT ≌ Rt∆DHA ， ∴ DH = DG = a ， ∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90° ， ∠DHF = 90° ， ∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA + ∠TDH = 90° ， ∴ DGFH 是一个边长为 a 的正方形. . ∴ GF = FH = a . TF ⊥ AF ， TF = GT − GF = b − a . ∴ TFPB 是一个直角梯形，上底 TF = b − a ，下底 BP = b ，高 FP = a + (b − a ) 用数字表示面积的编号，则以 c 为边长的正方形的面积为c 2 = S1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5 ①∵ S3 + S 4 + S8 =1 [b + (b − a )] • [a + (b − a )] = b 2 − 1 ab 2 2S5 = S8 + S9 ，∴ S3 + S 4 = b −2 21 ab − S 8 = b 2 − S1 − S 8 ② 22 2 2 2把②代入①，得 c = S1 + S 2 + b − S1 − S 8 + S 8 + S 9 = b + S 2 + S 9 = b + a∴ a + b = c ，即证明了勾股定理。2 2 2G a D c c R 8 T 3 4 c Q E 7 B a C 6 5 c b H 1 P Ab F9TbB 2 C 6 1 R a A E 4 5 Q c8 H G 7 F 3 MD图 5 6、清代数学家李锐的证明图 6设直角三角形两直角边的长分别为 a 、b 、(b − a ) ，斜边的长为 c . 做三个边长分别为a 、 b 、 c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A 、 E 、 G 三点在一条直线上. 用数 .字表示面积的编号如(图6）. . ∵ ∠TBE = ∠ABH = 90° ，∴ ∠TBH = ∠ABE . 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90° ， BT = BE = b ， ∴ Rt∆HBT ≌ Rt∆ABE . ∴ HT = AE = a ，∴ GH = GT − HT = b − a . 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90° ， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90° ， ∴ ∠GHF = ∠DBC . ∵ DB = EB − ED = b − a ， ∠HGF = ∠BDC = 90° ∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ Rt∆HGF ≌ Rt∆BDC . 即 S 7 = S 2 . 过 Q 作 QM ⊥ AG ，垂足是 M . 由 ∠BAQ = ∠BEA = 90° ， 可知 ∠ABE = ∠QAM ，而 AB = AQ = c ， ∴ Rt∆ABE ≌ Rt∆QAM . 又 Rt∆HBT ≌ Rt∆ABE . ∴ Rt∆HBT ≌ Rt∆QAM . 即 S 8 = S 5 . 由 Rt∆ABE ≌ Rt∆QAM ，又得 QM = AE = a ， ∠AQM = ∠BAE . ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90° ， ∠BAE + ∠CAR = 90° ， ∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR . 又∵∠QMF = ∠ARC = 90° ， QM = AR = a ，∴ Rt∆QMF ≌ Rt∆ARC . 即 S 4 = S 6 .Q c 2 = S1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5 ， a 2 = S1 + S 6 ， b 2 = S 3 + S 7 + S 8又∵ S 7 = S 2 ， S 8 = S 5 ， S 4 = S 6 ，∴ a 2 + b 2 = S1 + S 6 + S 3 + S 7 + S 8 = S 1 + S 4 + S 3 + S 2 + S 5 = c 2 ，即 a + b = c .即证明了勾股定理。2 2 27、清末数学家陈杰电的证明 ， 设直角三角形两直角边的长分别为 a 、 b （ b ＞ a ） 斜边的长为 c . 做两个边长分别为 a 、 的正方形 b ＞ a ） b （ ， 把它们拼成如图所示形状，使 E 、 H 、 M 三点在一条直线 上. 用数字表示面积的编号（如图）. . . 在 EH = b 上截取 ED = a ED = a ， 连结 DA 、 DC ，则 AD = c . ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM − ED = (b + a ) − a = b .B c A b 5 F G b 1 b E D 6 a H c 2 a 3 c 7 M a 4 a Cc又∵ ∠CMD = 90° ， CM = a ， ∠AED = 90° ， AE = b ， ∴ Rt∆AED ≌ Rt∆DMC .∴ ∠EAD = ∠MDC ， DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC + ∠MDC = 180° ， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90° ，∴ ∠ADC = 90° . ∴ 作 AB ∥ DC ， CB ∥ DA ，则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形.. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90° ，∴ ∠BAF = ∠DAE . 连结 FB ，在 ∆ABF 和 ∆ADE 中， ∵ AB = AD = c ， AE = AF = b ， ∠BAF = ∠DAE ， ∴ ∆ABF ≌ ∆ADE ∴ ∠AFB = ∠AED = 90° ， BF = DE = a . ∴ 点 B 、 F 、 G 、 H 在一条直线上.在 Rt∆ABF 和 Rt∆BCG 中， . ∵ AB = BC = c ， BF = CG = a ，∴ Rt∆ABF ≌ Rt∆BCG . ∵ c = S 2 + S 3 + S 4 + S 5 ， b = S1 + S 2 + S 6 ， a = S 3 + S 72 2 2，S1 = S 5 = S 4 = S 6 + S 7 ，∴ a + b = S 3 + S 7 + S 1 + S 2 + S 6 = S 2 + S 3 + S 1 + (S 6 + S 7 )2 2= S 2 + S 3 + S 4 + S 5 = c 2 ,∴a 2 + b 2 = c 2 .即证明了勾股定理。(二)外国数学家证明勾股定理的方法 1、古希腊数学家欧几里得(Euclid)的逻辑推理法 古希腊数学家欧几里得在他的 《几何原本》 第一卷地命题47中给出了毕达哥拉斯定理的 一个极其巧妙的证明如（图7)，其证明的梗概如下：如图 Rt∆ABC ， AB 和 AC 是直角边， 以边 AB 、AC 和 BC 分别作正方形 ABCF 、ACKH 和 BCED ， 要证 AB + AC = BC ，2 2 2即要证两直角边上的正方形面积之和等于斜边上正方形的面积，做辅助线 FC 、 AD ，作 AL ⊥ DE 。可证得 ∆ABD ≌ ∆FBC ，即两个三角形面积相等，从而得到S 正方形ABGF = S 矩形BDLI ,同样可得到 S 正方形ACKH = S 矩形 CELI ，从而S 正方形BCDE = S正方形ABFG + S正方形ACKH ， AB 2 + AC 2 = BC 2 ， 即 即证明了毕达哥拉斯定理。G H F A D B I C FG DAHAHBB FD L EE DK FG CE C图 7 图 8 图 9 2、婆什迦罗(Bhaskara)的相似三角形法 古印度数学兼天文学家婆什迦罗(1114～1185)给出了毕达哥拉斯的另一种奇妙的证明, 如（图 10） ，在 Rt ∆ABC 中，设直角边 AC 、BC 的长度分别为 a 、b ，斜边 AB 的长为 c ， 过点 C 作 CD ⊥ AB ，垂足是 D . C 在 ∆ADC 和 ∆ACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90° ， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ∆ADC ∽ ∆ACB ， AD ︰ AC = AC ︰ AB ， 即AC 2 = AD • AB . A 2 同理可证， ∆CDB ∽ ∆ACB ，从而有 BC = BD • AB AC 2 + BC 2 = ( AD + DB ) • AB = AB 2 ，即 a 2 + b 2 = c 2 .DB图 103、意大利数学家达·芬奇(1452～1519)的证明 用4个直角边分别为 a 、b ， 斜边为 c 的直角三角形和1个边长为 c 的正方形 ABCD 拼成 如（图8）所示的边长为 a + b 的正方形 EFGH ，再用4个直角边分别为 a 、 b ，斜边为 c 的 直角三角形和边长分别为 a 、b 的2个正方形 DEKF 和正方形 BGKH 拼成如（图9）所示的 根据这两个图形的面积相等关系很容易推导勾股定理。 （图 由 边长为 a + b 的正方形 ABCD ． 8），知道 S 正方形 EFGH = c + 4 ×21 ab ．由（图9），知道 2E lD1 S 正方形ABCD = a 2 + b 2 + 4 × ab ． 比较两式易得： a 2 + b 2 = c 2 ． 24、英国数学家佩里哥尔的证明 18世纪英国的一位数学家佩里哥尔发明的一种推导勾股定理的方 法．如（图11）．以 Rt ∆ABC 的三边为边长．分别向外作正方形．将以 BC 为一边的正方形按如下方法分割：过正方形的中心分别作垂直于斜边 AB 、平行于斜边 AB 的两条直线．把这个正方形分成如图8所示的4块全 等的四边形．将图形1、2、3、4、5剪下，可以拼成一个与正方形 ABCD 一 样大小的正方形．这个事实说明了分别以直角边 AC 、 BC 的正方形的面 积和等于以斜边为一边的正方形的面积．即 AC + BC = AB ．也就是两2 2 21 2 5 3 A 4 B 1 C 5 S 43 m2条直角边的平方和等于斜边的平方． 图 11 5、美国总统加菲尔德的梯形面积法 美国第二十任总统加菲尔德 1876 年在 《英格兰教育杂志》 发表了对勾股定理的证明方 法。以 a 、 b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积1 ab 把这两个直角三角形拼成如（图 12）所示形状，使 A 、 E 、 B 三点在一条直线 2 上 。 ∵ Rt∆EAD ≌ Rt∆CBE , ∴ ∠ADE = ∠BEC . ∵ ∠AED + ∠ADE = 90° , ∴ ∠AED + ∠BEC = 90° . ∴ ∠DEC = 180° − 90° = 90° . ∴ ∆DEC 是一个等腰直角三角 1 2 形，它的面积等于 c .又∵ ∠DAE = 90° , ∠EBC = 90° , AD ∥ BC .∴ ABCD 是一个 2 1 2 1 直角梯形，它的面积等于 (a + b ) (a + b )2 = 2 × 1 ab + 1 c 2 . a 2 + b 2 + c 2 . 2 2 2 2等于C D c c a A b E a B bE B D A C图 12图 13AC 2 = AE • AD ( AB + BE )( AB − BD ) = (c + a )(c − a ) = c 2 − a 2 2 2 2 2 2 2 即 b = c − a ，∴ a + b = c .(三)利用三角形与圓的关系证明勾股定理 1、利用圓的切割线定理证明 ，以 B 为圆 在 Rt∆ABC 中，设直角边 BC = a ， AC = b ，斜边 AB = c . 如（图 13） 心 a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延长线分别于 D 、 E ，则 BD = BE = BC = a ,因为 ∠BCA = 90° ， 点 C 在 ⊙ B 上 ， 所 以 AC 是 ⊙ B 的 切 线 . 由 切 割 线 定 理 ， 得2、作直角三角形内切圆的证明 设直角边 BC = a ， AC = b ， 斜边 AB = c .作 Rt∆ABC 的内切圆⊙ O ， 在 Rt∆ABC 中， 切点分别为 D 、 E 、 F 如（图 14） ，设⊙ O 的半径为 r . ∵ AE = AF ， BF = BD ， CD = CE ， ∴ AC + BC − AB = ( AE + CE ) + (BD + CD ) − ( AF + BF ) = CE + CD = r + r = 2r2 2 即 a + b − c = 2r ，∴ a + b = 2r + c . ∴ (a + b ) = (2r + c ) ，即 a 2 + b 2 + 2ab = 4 r 2 + rc + c 2 ， ∵ S ∆ABC =()1 ab ，∴ 2ab = 4 S ∆ABC ， 2 S ∆ABC = S ∆AOB + S ∆BOC + S ∆AOC 1 1 1 1 1 = cr + ar + br = (a + b + c )r = (2r + c + c )r = r 2 + rc 2 2 2 2 2 2 ∴ 4 r + rc = 4 S ∆ABC ，∴ 4 r 2 + rc = 2ab ，()()∴ a + b + 2 ab = 2ab + c , ∴ a + b = c . 3、利用多列米定理证明 在 Rt∆ABC 中，设直角边 BC = a ， AC = b ，斜边 AB = c 如（图 15）.过点 A 作 AD . ∥ CB ， 过点 B 作 BD ∥ CA ， ACBD 为矩形， 则 矩形 ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理， . 圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有 AB • DC = AD • BC + AC • BD ， ∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ，AC = BD = b ，2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ AB = BC + AC ，即 c = a + b ， 2 2 2 ∴a + b = c .Ac b F r B a D G r r C EDbBa c A bca C图 14 图 15 对以上证明方法进行比较分析： 勾股定理的证明有着丰富无比的文化内涵， 中国古代的 数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理。 而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。 中国 古人赵爽的这个证明可谓独具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明 代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性。为中国古代以形证数、数形统一、代数 和几何紧密结合、 互不可分的独特风格树立了一个典范。 以后的数学家大多继承了这一风格 并且有所发展。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法， 只是具体 图形的分合移补略有不同而已。这些人的证法建立在一种不证自明、形象直观的原理上，即 “出入相补”原理，充分运用了直角三角形易于移补的特点，给出了简洁、直观的证法，其 相应的几何思想是图形经移、 补、 凑、 合而面积不变， 不仅反映了我国传统文化中追求直观、 实用的倾向， 而且其展示的割补原理和数形结合的思想让我们看到我们传统文化的精髓， 对 我们继承和发扬传统文化起着潜移默化的熏陶作用。 而欧几里得证法则完全脱离实物的支 撑，给我们展示的是对数学美和数学理性的追求，它在更高层次上使人的思维得到锻炼。在 西方欧几里得的证明是纯几何式的逻辑演绎， 同时具有一定的构造型特征。 婆什迦罗的相似 三角形证法和加菲尔德的梯形面积法证法则简单明了，非常直观。 勾股定理简单明白而且很重要,从而两千多年来引起了中外许多人士的兴趣，所以勾股 定理的证明方法也不只这几种。一位叫卢米斯的数学家搜集各种证明方法，于 1940 年出版 《毕达哥拉斯命题》一书，记载有 367 种证法。1978 年，一位叫刘毓璋的先生在台湾出版 名为《易经之数理思想》的著作，其中第一章“商高定理”中给出他“搜集及自己创造发明” 的证法 85 种。由此可以，勾股定理的证明方法恐怕要突破 400 种了。勾股定理是数学中的 一个基本定理，也是已知证法最多的数学定理。 参考文献 [1]肖养田:《我国最先发现并证明勾股定理》,发明与革新,2001 年； [2]罗洪信:勾股定理的证明，2002 年； [3]王 宇： 《你知道勾股定理是怎么来的吗?》 ； [4]朱元生：中学生数理化，2007，(3） ； [5]朱 哲： 《梅文鼎对勾股定理的证明及其与欧几里得方法的比较》 中学数学杂志(初 ， 中版)，2005，(6)； [6]印惠媛： 《勾股定理证明中的