平面基本性质及推论

1.2.1平面基本性质与推论

一、教学目标确立依据

（一）课程标准要求及解读

1、课程标准要求

借助长方体模型，解空间点线面的基础上，抽象出空间点线面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。

基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内．

基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面

基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。

2、课程标准解读

平面的基本性质1给出了判断直线在平面内的方法，引出了直线在平面内的定义。

平面的基本性质2及平面的基本性质的三个推论，说明了怎样的条件可以确定一个平面，从而我们知道什么条件下可以画出确定的平面，什么条件下两个平面互相重合，这些都是研究空间图形时首先需要明确的。

平面的基本性质3主要说明了两个相交平面的特征，对我们确定或画出两个平面的交线有重要的指导作用。

平面的基本性质的推论用以确定平面的依据。

(二)教材分析

本节课在必修二中是第一张第二节内容，是整个立体几何的基础和工具。是立体几何的起始课，平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础。平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何平面化的过程中具有重要的桥梁作用。通过对平面基本性质的学习，有助于学生更好的学习立体几何的其他知识本节的重点是平面的基本性质及三种语言的转换。难点是平面的基本性质的理解与应用。课前要充分观察理解教室里的点、线、面，来理解点、线、面及位置关系。

知识结构图 基本性质

推论1

平面的基本性质基本性质推论2

基本性质推论3

（三）学情分析

通过第一章空间几何体的学习，学生对于点线面之间的位置关系有初步认识，本节要求学生能够用集合语言表示点线面之间的位置关系，引导学生对空间中点线面的位置关系可各种可能性进行分类和研究。对于证明学生可能感觉难度较大。

二、教学目标

1、在直观认识和理解空间点线面的基础上，能抽象出空间点线面位置关系的定义。

2、图形语言符号语言表示点线面之间的位置关系，

3.通过第一节课学习，在掌握平面的三个基本性质的基础上，进一步掌握平面基本性质的三个推论；

三、评价设计

目标1评价：能说出线不在面内的情况，并用图形表示。能说出两个平面的位置关系。

目标2评价：学生对基本性质及推论能说出条件及结论是什么，并会用图形语言及符号语言表示。

目标3评价：经过小组讨论会证明平面基本性质的三个推论；

四、教学方法

学生从直观认识平面到理性的理解平面，有一个抽象的过程。通过这个过程可培养学生的抽象能力。要让学生认识平面的三条基本性质的直观背景。学完这三条基本性质，学生营养成用性质理解平面的习惯，学会用直线和皮面的基本性质进行推理。

五、教学过程

温故知新，导入新课。

1.平面有哪些性质呢？

2、一条直线和平面有哪几种关系呢？两个平面呢？

教学重点、难点的学习与完成过程

师：立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．请同学们思考下列问题（用幻灯显示）．

问题1：直线l上有一个点P在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？ 问题2：直线l上有两个点P、Q在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？

（用竹针穿过纸板演示问题1，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2，学生思考回答后教师归纳．）

【设计意图】：形象直观，学生易于接受。

这就是基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内．．这里的条件是什么？结论是什么？

生：条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（α）内，结论是：直线（a）在平面（α）内．

师：把条件表示为A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把结论表示．

【设计意图】：学生学会符号语言。

这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．

在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？

生：不是，因为平面是无限延展的．

师：对，根据基本性质1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征．

现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象：两个纸板交叉

师：两个平面会不会只有一个公共点？

生甲：只有一个公共点．

生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点．

师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点．那么这无数个公共点在什么位置呢？（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）．可见，这无数个公共点在一条直线上．这说明，如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。

【设计意图】：形象直观，学生易于接受。

此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合这就是基本性质3其条件和结论分别是什么？

生：条件是两平面（α、β）有一公共点（A），结论

是：它们有且只有一条过这个点的直线．

师：条件表示为A∈α，A∈β，结论表示为：α∩β＝a，A∈a，图形表示 基本性质3判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法． 下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：

问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？

问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？

问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？

【设计意图】：以问题串的形式引出基本性质2.

（教师演示给学生看，学生思考后回答，教师归纳）．这说明，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即基本性质2其条件、结论分别是什么？

生：条件是：不在同一直线上的三点（A、B、C），结论是：过这三点（A、

B、C）有且只有一个平面（α）．基本性质2是确定平面位置的依据之一。

推论

师：确定一个平面的依据，除基本性质2外，还有它的三个推论．

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．说出推论1的条件和结论并证明。

生：条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个平面求证：经过a和A有且只有一个平面．

已知：Al

求证：经过点A和直线l有且只有一个平面。

【设计意图】：学生学会将文字叙述改写为数学语言。

证明：①存在性：

如图（1）在直线l上任取两点B，C，据题意A、B、C三点不 共线，根据基本性质2，经过不共线的三点A、B、C有一个平面

B ，C l（基本性质1）

所以平面就是经过直线l和点A的平面。

②唯一性： Bl ，Cl ，

 任何经过点A和l的平面一定经过点A、B、C，

三点A、B、C不共线，

根据基本性质2，这样的平面只有一个，

由①②可知：经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

其条件、结论分别是什么？

生：条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面． 师（板书）

已知：a∩b=A

求证：经过a和b有且只有一个平面。

证明：①存在性：

如图（2）在a上任取一点B，且Bb,根据推论1， 经过一条直线b和直线外一点B有一个平面

∵A∈a ,B∈a ∴a

所以平面就是经过相交直线a和b的平面。

②唯一性：

∵B∈a

∴任何经过直线a和b的平面一定经过点B和直线b，

∵根据推论1，这样的平面只有一个，

由①②可知：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

已知：a∥b

求证：经过a和b有且只有一个平面。

证明：①存在性：

如图（3）

∵a∥b

∴根据平行线的定义，a和b在同一平面内。

②唯一性：

在a上任取一点A, 在b上任取一点B,

连接点A,B作直线c，

∵A∈，B∈ , ∴c在内，

∵a∩c=A,b∩c=B,

∴根据推论2 ,a和c在唯一的平面内，b和c在唯一的平面内.

又a和b在同一平面内，

则a，b，c在唯一的一个平面内。

由①②可知：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

证明线共面

例题：已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．

分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．

证明 1º若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点 A ∴ 直线d和A确定一个平面α．

又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，

则 A，E，F，G∈α．

∵ A，E∈α，A，E∈a， ∴ aα．

同理可证 bα，cα．

∴ a，b，c，d在同一平面α内．

2º当四条直线中任何三条都不共点时，如图．

∵ 这四条直线两两相交，

则设相交直线a，b确定一个平面α．

设直线c与a，b分别交于点H，K，

则 H，K∈α． 又∵ H，K∈c，∴ cα．

同理可证 dα．∴ a，b，c，d四条直线在同一平面α内．

点 评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．

证明线共点

例题. 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．

分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在l上，而l是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．

证明： ∵ 梯形ABCD中，AD∥BC，

∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．

∴ AB，CD必定相交于一点，

设 AB ∩CD＝M．

又∵ ABα，CDβ，∴ M∈α，且M∈β．

∴ M∈α∩β．

又∵ α∩β＝l，∴ M∈l， 即 AB，CD，l共点．

点 评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．

当堂检测：

1、下列命题是否正确。

1. 不共线的三点确定一个平面。（√）

2. 有三个公共点的两个平面重合。（√）

3. 三角形一定是平面图形。（√）

4. 平行四边形一定是平面图形。（√）

5. 四边形一定是平面图形。（×）

6. 不共线的四点确定一个平面。（×）

2、P38练习B组第6题用符号语言表示。

3、P38练习B组第2题。

【设计意图】：检测基本性质及推论的理解及应用。

归纳总结：

请同学将3个平面基本性质及3个推论用图形语言及符号语言表述。

【设计意图】：学生会将自然语言、数学语言和符号语言相互转化。