范文无忧网立体几何知识点(文科)
一．平行关系
1. 线线平行：
方法一：用线面平行实现。
l //α
⎫
l ⊂β⎪
⎬⇒l //m α⋂β=m ⎪⎭
方法二：用面面平行实现。
α//β⎫
γ⋂α=l ⎪
⎬⇒l //m
γ⋂β=m ⎪⎭
方法三：用线面垂直实现。 若l
⊥α, m ⊥α，则l //m 。
方法四：用向量方法：
若向量l 和向量m 共线且l 、m 不重合，则l //m 。 2. 线面平行：
方法一：用线线平行实现。
l l //m ⎫
m ⊂α⎪
⎬⇒l //α
l ⊄α⎪⎭
方法二：用面面平行实现。
α//β⎫
l ⊂β⎬⇒l //α
⎭
方法三：用平面法向量实现。 若
n 为平面α的一个法向量，
⊥且l ⊄α, 则l //α。
3. 面面平行：方法一：用线线平行实现。
l //l '
⎫
m //m ' ⎪⎪
l , m ⊂β且相交⎬⇒α//β
⎪l ' , m ' ⊂α且相交⎪⎭
方法二：用线面平行实现。
l //α
⎫m //α⎪
⎬⇒α//βl , m ⊂β且相交⎪⎭
二．垂直关系： 2. 线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。
l ⊥AC
⎫
l ⊥AB ⎪⎪
AC ⋂AB =A ⎬⇒l ⊥α
方
⎪AC , AB ⊂α⎪⎭
法二：用面面垂直实现。
α⊥β⎫
α⋂β=m ⎪
⎬⇒l ⊥α
l ⊥m , l ⊂β⎪⎭
2. 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
l ⊥α⎫
l ⊂β⎬⇒α⊥β
⎭
方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
l ⊥α⎫
m ⊂α⎬⎭
⇒l ⊥m
方法二：三垂线定理及其逆
定理。
PO ⊥α⎫
l ⊥OA ⎪
⎬⇒l ⊥PA l ⊂α⎪⎭
三 夹角问题。
(一) 异面直线所成的角：
(1) 范围：(0︒, 90︒](2)求法：方法一：定义法。
1
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)
步骤2：计算线段PO 的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)
五、简单几何体 1棱柱:
(1) {正方体}⊂{正四棱柱}⊂{长方体}⊂{直平行六面体}⊂{直四棱柱}⊂{四棱柱}⊂{棱柱}
{正方体}⊂{正四棱柱}⊂{长方体}⊂{直平行六面体}⊂{平行六面体}⊂{四棱柱}⊂{棱柱} (2)棱柱的侧面积S 侧
余弦定理：cos θ=
a +b -c
2ab
222
(计算结果可能是其补角)
(二) 线面角
(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥
α于O,
=C 直l （其中C 直为直截面的周长, l
连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，∠PAO (图中θ) 为直线l 与面α所成的角。 (2)范围：[0︒, 90︒] 当θ当θ
为棱长) ; 棱柱的体积V =S 底h (3)直棱柱的侧面积S 侧
=C 底l ; 直棱柱的体积V =S 底h
(4)特殊棱柱长方体A B C D -ABCD 的长、宽、高分别为a 、b 、c
1111
① 对角线长l =
a 2+b 2+c 2
=0︒时，l ⊂α或l //α =90︒时，l ⊥α
② 长方体外接球的直径2R 等于对角线长l ；
③ 长方体的表面积S=2(ab +bc +bc ) ; 长方体的体积V=abc ;
④ 正方体的内切球的直径等于棱长 1、 棱锥:
(1) 棱锥的性质：若棱锥P-ABC …被平行于底面ABC 的截面
A 1B 1C 1所截，则 ① 多边形ABC …∽多边形A 1B 1C 1…，设相似比为λ； ②
(3)求法：方法一：定义法。步骤1：作出线面角，并证明。 步骤2：解三角形，求出线面角。 (三) 二面角及其平面角
(1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。 (2)范围：[0︒, 180︒]
h 截h 原
=λ；
S 截S 原
=λ2；
V 截V 原
=λ3。
③ V=
1
S 底h 3
11
C 底h 斜； ②V=S 底h 23
⑵正棱锥（①底面是正多边形；②顶点在底面的射影是正多边
形的中心） ①S 正侧
=
(3)求法：方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理) ，并证明。 步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。
步骤1：如图，若平面POA 同时垂直于平面α和β，则交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面角。
3、多面体
⑴正多面体只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体。
其中正四面体、正八面体、正二十面体的面都是三角形，正六面体的面是正方形，
正二十面体是五边形。
⑵简单多面体的顶点数 V 、面数F 、棱数E 之间的关系：
V +F -E =2
2、 球
⑴球的截面有以下性质：
① 球心和截面圆心的连线垂直于截面
② 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 有
步骤2：解三角形，求出二面角。 四 距离问题。 1．点面距。 方法一：几何法。 步骤1：过点P 作PO ⊥线段PO 即为所求。
=R 2-d 2
2
⑵球的表面积：S =4πR ；
43
⑶球的体积：V =
πR
3
以下的关系：r
α于O ，
2