高三数学三垂线定理及其逆定理

高三数学三垂线定理及其逆定理(说课稿)

堡子店中学 黄磊

一．内容分析：以前面学过的“三垂线定理及其逆定理”为基础，重新剖析研讨三垂线定

理及其逆定理，安排了利用定理进行证明和求解的例题与练习。本节内容具有逻辑性强、体系性强、难度较大的特点，在某种程度上是对空间两条直线垂直关系的一个系统完善。

二．地位和作用：三垂线定理是空间两条直线垂直的判定定理，是把某些空间图形转化

为平面图形的重要依据。经常用此定理去解决二面角、点到直线的距离、直线到直线的距离以及直线和平面垂直等问题。本节内容主要解决空间两条直线垂直的判定。

三．教学目标：

知识目标：通过学习，让学生在掌握三垂线定理与其逆定理的基础上加深对它的理

解，掌握运用其证明空间两条直线垂直。

能力目标：通过问题的探索，培养学生的空间 想象能力、逻辑思维能力和转化能力。 德育目标：通过揭示正逆定理的对立统一，渗透辩证唯物主义观点，欣赏数学美。

四．教材的重点难点：三垂线定理及其逆定理是立体几何中证明线线垂直的重要定理，它们将空间两条直线的垂直问题平面化，体现了化归的思想方法，而且在解决有关“角”与“距离”等问题时也常常要用到这两个定理。确定本节教学的重点为三垂线定理及其逆定理,难点是应用其证明空间两条直线的垂直。

五．教学过程：

1、复习：

（1） 基本概念

三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。

(2) 定理内容分析

三垂线定理及其逆定理的比较

相同点：

a. 结构相同，都是由线线垂直推证线线垂直；

b .证明方法相同，都采用了线面垂直法.

不同点：

a. 用途不同，原定理用来证明空间两线垂直;而逆定理用来证明同一平面上两直线垂直；

b. 条件与结论不同，原定理是：“与射影垂直与斜线垂直”；逆定理是：“与斜线垂直与射影垂直”.

2、讲授新课：

师：上一节我们复习了三垂线定理及其逆定理．其中大多是基本题．今天我们一方面要在应用这些基本题的基础上解有关的综合题；另外我们再来解其它的综合题来提高我们的解综合题的能力．现在看例1．

例1 如图1，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，求证：

△ABC是锐角三角形．

师：这一题证法很多，所以我们要多想几种证法．

所以 ∠BAC是锐角．

同理可证∠ABC，∠ACB都是锐角．

师：我们能不能直接用三垂线定理来证？

生：由已知可得PA⊥平面PBC．在直角三角形PBC中，作PD⊥BC于D，因为∠PBC，∠PCB都是锐角，所以垂足D一定在斜边BC内部，连PD，则PD⊥BC（三垂线定理）．对于△ABC来说，因垂足D在BC边内部，所以∠ABC，∠ACB都是锐角，同理可证∠BAC也是锐角．

师：能不能用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ来证明△ABC为锐角三角形？ 生：因AP⊥平面PBC，所以∠ABP是线面角，相当于θ1，∠PBC相当于θ2，因θ1，θ2都是锐角．所以cosθ1＞0，cosθ2＞0，cosθ＝cosθ1·cosθ2＞0，所以θ为锐角。即∠ABC是锐角，同理可证∠BAC，∠ACB都是锐角．

师：我们用了三种方法来证明△ABC是锐角三角形，现在我们换一个角度来研究这个基本图形另外一个性质．看例2．

例2 如图2，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC．PH⊥平面ABC于H．求证：H点是△ABC的垂心．

师：垂心是三角形三边垂线（高线）的交点，要证H是△ABC的垂心，只要证AH⊥BC即可．

生：因为 PA⊥BP，PA⊥CP，

所以 PA⊥平面PBC．故 PA⊥BC．

对于平面ABC来说，PH是垂线，PA是斜线，AH是PA在平面ABC内的射线． 因为 PA⊥BC，所以 AH⊥BC．

同理可证BH⊥AC，CH⊥AB．故H是△ABC的垂心．

师：由例2的演变可得例3，现在我们来看例3．