小专题(二) 巧用勾股定理解决折叠与展开问题 类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题
1.如图,将长方形ABCD 沿EF 折叠,使顶点C 恰好落在AB 边的中点C′上.若AB =6,BC =9,求BF 的长.
2.长方形纸片ABCD 中,已知AD =8,折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合,点B 落在点F 处,折痕为AE ,且EF =3,求AB 的长.
3.如图,OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片,O 为原点,点A 在x 轴的正半轴上,点C 在y 轴的正半轴上,OA =5,OC =4. 在OC 边上取一点D ,将纸片沿AD 翻折,使点O 落在BC 边上的点E 处.求D ,E 两点的坐标.
4.有一长方形纸片ABCD ,按如图方式折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF.
(1)求证:△DEF 是等腰三角形;
(2)若AD =3,AB =9,求BE 的长.
5.有一块直角三角形纸片,两直角边AC =6 cm,BC =8 cm.
(1)如图1,现将纸片沿直线AD 折叠,使直角边AC 落在斜边AB 上,则CD =________cm;
(2)如图2,若将直角∠C 沿MN 折叠,点C 与AB 中点H 重合,点M ,N 分别在AC ,BC 上,则AM 2,BN 2与MN 2
之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.
类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题
6.如图,一圆柱体的底面周长为24 cm,高AB 为5 cm,BC 是直径,一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点C 的最短路程是( )
A .6 cm B .12 cm
C .13 cm D .16 cm
7.如图,在一个长为2 m,宽为1 m的长方形草地上,放着一根长方体的木块,它的棱和草地宽AD 平行且棱长大于AD ,木块从正面看是边长为0.2 m 的正方形,一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程是____________m(精确到0.01 m).
8.如图,长方体的高为5 cm,底面长为4 cm,宽为1 cm.
(1)点A 1到点C 2之间的距离是多少?
(2)若一只蚂蚁从点A 2爬到C 1,则爬行的最短路程是多少?
9.如图,圆柱形玻璃杯高为12 cm,底面周长为18 cm,在杯外离杯底4 cm的点C 处有一些蜂蜜,此时一只蚂蚁正好也在杯外壁,离杯上沿4 cm的点A 处.
(1)求蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离;
(2)若将蜂蜜的位置改为在杯内离杯底4 cm的点C 处,其余条件不变,请你求出此时蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短距离.
参考答案 1.∵点C′是AB 边的中点,AB =6,∴BC ′=3. 由图形折叠的性质,知C′F=CF =BC -BF =9-BF. 在Rt △C ′BF 中,BF 2+BC′2=C′F2,∴BF 2+9=(9-BF) 2. 解得BF =4.
2.∵四边形ABCD 是长方形,AD =8,∴BC =8. ∵△AEF 是由△AEB 翻折而成,∴BE =EF =3,AB =AF ,△CEF 是直角三角形.∴CE =BC -BE =8-3=5. 在Rt △CEF 中,CF =CE -EF =5-3=4. 设AB =x ,在Rt △ABC 中,AC 2=AB 2+BC 2,即(x+4) 2=x 2+82. 解得x =6. ∴AB =6.
3.依题意可知,折痕AD 是四边形OAED 的对称轴,在Rt △ABE 中,AE =OA =5,AB =4. ∴BE =3,从而CE =
52. ∴E 点坐标为(2,4) .在Rt △DCE 中,DC 2+CE 2=DE 2. 又∵DE =OD ,∴(4-OD) 2+22=OD 2. 解得OD =∴D 点2
5坐标为(0) . 2
4.(1)证明:由折叠的性质,得∠DEF =∠BEF. ∵AB ∥DC ,∴∠BEF =∠DFE. ∴∠DEF =∠DFE. ∴DE =DF ,即△DEF 是等腰三角形.
(2)由折叠的性质,得ED =EB. 设BE =x ,则DE =x ,AE =AB -x =9-x. 在Rt △ADE 中,AD =3,AD 2+AE 2=DE 2. ∴32+(9-x) 2=x 2. 解得x =5. ∴BE =5.
5.AM 2+BN 2=MN 2. 证明:过点B 作BP ∥AC 交MH 延长线于点P ,连接NP ,∴∠A =∠PBH ,∠PBN +∠C =
⎧∠A =∠PBH ,
180°,即∠PBN =90°. ∵H 是AB 的中点,∴AH =BH. 在△AMH 和△BPH 中,⎨AH =BH , ⎩∠AHM =∠BHP ,
∴△AMH ≌△BPH(ASA).∴AM =BP ,MH =PH. 又∵NH ⊥MP ,∴MN =NP. 又∵在Rt △BNP 中,BP 2+BN 2=NP 2. ∴AM 2+BN 2=MN 2.
6.C
7. 2.60
8.(1)∵长方体的高为5 cm,底面长为4 cm,宽为1 cm,
∴A 2C 24+117(cm).
∴A 1C 252+(17)242(cm).
(2)如图1所示,A 2C 15+5=52(cm).
如图2所示,A 2C 1=9+1=82(cm).
如图3所示,A 2C 1=6+4=213(cm).
∵5<2<82,
∴一只蚂蚁从点A 2爬到C 1,爬行的最短路程是52cm.
9.(1)如图,
由题意可,得CD =9 cm,AD =12-4-4=4(cm),
∴AC =AD +CD =97(cm).
97cm.
(2)如图,
将杯子侧面展开,作A 关于EQ 的对称点A′,连接A′C,则A′C即为最短距离,
1则A ′D 18=9(cm),CQ =12-4=8(cm),CD =4+8=12(cm). 2
在Rt △A ′DC 中,由勾股定理,得A′CA′D+CD =9+12
=15(cm).
君悦文化
答:蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短距离为15 cm.